ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4a^2-1}{a}\end{align*}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2a\end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2a-1}{a}\end{align*}}$　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2a+1}{a}\end{align*}}$

　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt5}\end{align*}}$　　　　　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2-\sqrt5\end{align*}}$　


【解説】

　(1)
　　　行列Aの成分を
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 2a&\sf -a\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\sf \end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^2=\begin{pmatrix}\sf 2a &\sf -a\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 2a&\sf -a\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 4a^2-ac &\sf -a(2a+d)\\ \sf c(2a+d)&\sf d^2-ac\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　となり、これがEと等しいので、成分を比較すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4a^2-ac=d^2-ac=1\end{align*}}$　････①
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -a(2a+d)=c(2a+d)=0\end{align*}}$．　････②
　　　①より、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c=\frac{4a^2-1}{a}\end{align*}}$
　　　であり、a≠0なので、②より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2a+d=0\ \ \Leftrightarrow\ \ d=-2a\end{align*}}$ ．
　　　以上より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A=\begin{pmatrix} \sf 2a&\sf -a \\ \sf \frac{4a^2-1}{a} & \sf -2a \end{pmatrix}}\end{align*}}$ ．

　　　直線ｍx上の点P(ｔ，ｍｔ)（ｔ≠0）のAによる像は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 2a&\sf -a \\ \sf \frac{4a^2-1}{a} & \sf -2a \end{pmatrix}\binom{t}{mt}=\binom{(2-m)at}{\left(\frac{4a^2-1}{a}-2ma\right)t}\end{align*}}$
　　　となり、この点もy=ｍx上にあるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (2-m)mat=\left(\frac{4a^2-1}{a}-2ma\right)t\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (2-m)ma^2=4a^2-1-2ma\ \ \ (\because t\ne 0)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2m^2-4a^2m^2+4a^2-1=0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{am-(2a-1)\right\}\left\{am-(2a+1)\right\}=0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ m=\frac{2a-1}{a}\ \ ,\ \ \frac{2a+1}{a}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　2直線が直交するためには、傾きの積が－1になればよいので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2a-1}{a}\cdot\frac{2a+1}{a}=-1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4a^2-1=-a^2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=\frac{1}{\sqrt5}\ \ (>0)\ \ }\end{align*}}$　
　　　であり、このとき行列Aは、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix} \sf 2&\sf -2 \\ \sf -1& \sf -2 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　となる。
　　　
　　　xy平面上の点Q(1，0)がAによって移される点をQ’とすると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix} \sf 2&\sf -2 \\ \sf -1& \sf -2 \end{pmatrix}\binom{1}{0}=\frac{1}{\sqrt5}\binom{2}{-1}\end{align*}}$
　　　であり、線分QQ’の中点をＭとすると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\ \left(\frac{2+\sqrt5}{2\sqrt5}\ ,\ \frac{-1}{2\sqrt5}\right)\end{align*}}$ ．
　　　このとき、直線ＯＭの方程式は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{1}{2\sqrt5}\ x=\left(2-\sqrt5\right)\ x\end{align*}}$ ．
　　　ここで、線分QQ’の傾きは、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{-\frac{1}{\sqrt5}-0}{\frac{2}{\sqrt5}-1}=-\frac{1}{2-\sqrt5}\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2-\sqrt5}\cdot\left(2-\sqrt5\right)=-1\end{align*}}$
　　　となるので、ＯＭとQQ’は直交する。
　　　よって、QとQ’は直線
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=\left(2-\sqrt5\right)\ x\ \ }\end{align*}}$
　　　について対称となるので、
　　　行列Aはこの直線に関する対称移動を表していることになる。




　　最後がかなりインチキですが・・・・
　　まぁ穴埋めなので、こんなもんでしょう。