2012同志社大 生命医科学部 数学４

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【解答】

　(1)
　　　直線ABの式は、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x}{a}+\frac{y}{1}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x+ay-a=0\end{align*}}$
　　　であり、P(p，0)からの距離は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ=\frac{\left|p+0-a\right|}{\sqrt{1^2+a^2}}=\underline{\ \frac{a-p}{\sqrt{1+a^2}}\ \ \ \ (\because p\lt a)\ \ }\end{align*}}$


　(2)
　　　△BPQと△BPＯに三平方の定理を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BQ=\sqrt{BP^2-PQ^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{(OB^2+OP^2)-PQ^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{1+p^2+\left(\frac{a-p}{\sqrt{1+a^2}}\right)^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\frac{a^2p^2+2ap+1}{1+a^2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{ap+1}{\sqrt{1+a^2}}\ \ \ \ \ (\because ap+1>0)\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\ \pi\cdot PQ^2 \cdot BQ\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi\ (a-p)^2(ap+1)}{3(1+a^2)\sqrt{1+a^2}}\ \ }\end{align*}}$

　(3)
　　　pの関数ｆ(p)を
　　　　　　　　ｆ(p)=(a－p)²(ap+1)　　（0≦p＜a）
　　　と定めると、
　　　　　　　　ｆ’(p)=－2(a－p)(ap+1)+(a－p)²･a
　　　　　　　　　　　　=(p－a)(3ap－a²+2)
　　　となるので、ｆ’(p)=0となるのは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=a\ \ ,\ \ \frac{a^2-2}{3a}\end{align*}}$
　　　のときである。
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{a^2-2}{3a}\end{align*}}$
　　　とおくと、a＞0より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a-b=a-\frac{a^2-2}{3a}=\frac{2a^2+2}{3a}>0\end{align*}}$
　　　となるので、常に b＜a である。
　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{\left(a-\sqrt2\right)\left(a+\sqrt2\right)}{3a}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　(ⅰ) 0＜a≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ のとき、b≦0
　　　　　　(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ ＜a のとき、0＜b
　　　となる。

　　　(ⅰ)のとき
　　　　　ｆ(p)の増減表は、次のようになる。
　　　　　　　　
　　　　　よって、p=0でｆ(p)は最大となり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_{max}=\frac{\pi\ f\ (0)}{3(1+a^2)\sqrt{1+a^2}}=\underline{\ \frac{\pi\ a^2}{3(1+a^2)\sqrt{1+a^2}}\ \ }\end{align*}}$ ．

　　　(ⅱ)のとき
　　　　　ｆ(p)の増減表は、次のようになる。
　　　　　　　　
　　　　　よって、p=bでｆ(p)は最大となり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_{max}=\frac{\pi\ f\ (b)}{3(1+a^2)\sqrt{1+a^2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{3(1+a^2)\sqrt{1+a^2}}\cdot\left(a-\frac{a^2-2}{3a}\right)^2\left(a\cdot \frac{a^2-2}{3a}+1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{3(1+a^2)\sqrt{1+a^2}}\cdot\frac{(2a^2+2)^2}{9a^2} \cdot \frac{a^2+1}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{4\pi(1+a^2)\sqrt{1+a^2}}{81}\ \ }\end{align*}}$



　　最後に場合分けが必要です。