2012同志社大 生命医科学部 数学３

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【解答】

　(1)
　　　C₂の式は、
　　　　　　　　x=a－logy　⇔　logy=a－x
　　　　　　　　　　　　　　　 ⇔　y=ｅ^a-x　
　　　と変形できるので、これとC₁の式を連立させると、
　　　　　　　　ｅ^x　－ｅ^a+1=ｅ^a-x
　　　　　　⇔　(ｅ^x)²－(ｅ^a－1)ｅ^x－ｅ^a=0
　　　　　　⇔　(ｅ^x+1)(ｅ^x－ｅ^a)=0．
　　　これより、
　　　　　　　　ｅ^x=ｅ^a （＞0）　⇔　x=a
　　　となるので、
　　　　　　　　y=ｅ^a－ｅ^a+1=1．
　　　よって、C₁とC₂の交点の座標は、(a，1)


　(2)
　　　C₁は、曲線y=ｅ^xのグラフをy軸方向に－ｅ^a+1だけ
　　　平行移動したものである。
　　　そのy切片は、
　　　　　　ｅ⁰－ｅ^a+1=2－ｅ^a
　　　であり、
　　　　　　(ⅰ) 0＜a＜log2のときは、2－ｅ^a＞0
　　　　　　(ⅱ) log2≦aのときは、2－ｅ^a≦0
　　　となる。
　　　一方、C₂は、曲線y=ｅ^-xのグラフをx軸方向にaだけ平行移動
　　　したものである。
　　　これらを図示すると、下図のようになる。

　　　　　

　(3)
　　　(2)の(ⅰ)、(ⅱ)いずれの場合も図形Dの面積Sは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^a\ \left\{e^{a-x}-\left(e^x-e^a+1\right)\right\}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-e^{a-x}-e^x+\left(e^a-1\right)x\right]_0^a\end{align*}}$
　　　で求めることができるので、これを計算すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S=(e^a-1)\ a\ \ }\end{align*}}$


　(4)
　　　図形Dが領域y≦0と共通部分をもつためには、
　　　(2)の(ⅱ)のようになればよい。
　　　C₁とx軸の交点のx座標は、
　　　　　　ｅ^x－ｅ^a+1=0　⇔　x=log(ｅ²－1)．
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\log (e^a-1)}\left\{-\left(e^x-e^a+1\right)\right\}\ dx=1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left[-e^x+(e^a-1)\ x\right]_0^{\log (e^a-1)}=1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -(e^a-1)+(e^a-1)\log (e^a-1)+e^0=1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (e^a-1)\left\{\log (e^a-1)-1\right\}=0\end{align*}}$ ．
　　　a＞0より、ｅ^a≠1なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log (e^a-1)=1\ \ \Leftrightarrow\ \ e^a=e+1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=\log(e+1)\ \ }\end{align*}}$



　　特に難しい計算もなく、そのまま誘導に乗っていくだけです。