ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1+2\sqrt2}{3}\end{align*}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\alpha}{3}\end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\sqrt2}{3}\end{align*}}$　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\sqrt2}{3}\end{align*}}$　　　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$　　

　カ 1　　　　キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　ク 2　　　　ケ 1　　　　コ 1

【解説】

　(1)
　　　$\scriptsize{\sf 3x^2-(1+2\sqrt2)x+\alpha=0}$ ････①　の2解が
　　　$\scriptsize\sf{\cos\theta}$ と$\scriptsize\sf{\sin\theta}$ なので、解と係数の関係より　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos \theta+\sin\theta=\underline{\ \frac{1+2\sqrt2}{3}\ \ }\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos \theta\sin\theta=\underline{\ \frac{\alpha}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　これらより、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\cos \theta+\sin\theta\right)^2=\cos^2 \theta+\sin^2\theta+2\cos \theta\sin\theta\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{1+2\sqrt2}{3}\right)^2=1+2\cdot\frac{\alpha}{3}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \alpha=\frac{2\sqrt2}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　このとき①は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3x^2-(1+2\sqrt2)x+\frac{2\sqrt2}{3}=0\end{align*}}$
　　　となり、これを解くと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{3}\ ,\ \frac{2\sqrt2}{3}\end{align*}}$ ．
　　　ここで、$\scriptsize{\sf 0\lt x\lt\pi/4}$ より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\sin x<\frac{1}{\sqrt2}<\cos x<1\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \cos \theta=\frac{2\sqrt2}{3}\ ,\ \sin \theta=\frac{1}{3}\ \ }\end{align*}}$


　(2)
　　　C₁：y=log₂x にy=0を代入すると、
　　　　　　　　　log₂x=0　⇔　x=1
　　　となるので、C₁とx軸との交点は (1，0) ．
　　　C₂：y=log₄(x+2) にx=0を代入すると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\log_4 2=\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　となるので、C₂とy軸の交点は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(0\ ,\ \frac{1}{2}\right)\ \ }\end{align*}}$ ．

　　　また、C₁とC₂の交点は、2式を連立させると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_2x=\log_4(x+2)\end{align*}}$
　　　となり、これを解くと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=2\ ,\ -1\end{align*}}$ ．
　　　真数条件より、x＞0 かつ x+2＞0 なので、
　　　x=2 であり、このとき、y=log₂2=1．
　　　よって、2曲線の交点の座標は、(2，1)

　　　2曲線および両軸との位置関係は右図のように
　　　なるので、これらで囲まれる部分の面積をSと
　　　すると、　　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^2\ \log_4(x+2)\ dx-\int_1^2\ \log_2x\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^2\frac{\log(x+2)}{\log4}\ dx-\int_1^2\frac{\log x}{\log 2}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{(x+2)\log(x+2)-(x+2)}{\log 4}\right]_0^2-\left[\frac{x\log x-x}{\log2}\right]_1^2\end{align*}}$ ．
　　　これを計算すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S=1\ \ }\end{align*}}$
　　　となる。



　　対数の積分は、いちいち部分積分せず、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\ \int\ \log x\ dx=x\log x-x+C}\end{align*}}$
　　と覚えておきましょう。（Cは積分定数）