① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{p}{3}\ ,\ \frac{q}{3}\right)\end{align*}}$　　　　② 下図参照　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ax+\frac{9}{4}\ by\end{align*}}$　　　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$

　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{\sqrt2}{2}\ ,\ \frac{\sqrt2}{3}\right)\end{align*}}$　　　⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}\end{align*}}$　　　　　⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\pi^2-4}\end{align*}}$　　　　　⑧ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\pi+2}\pm\sqrt{\pi-2}\end{align*}}$


【解説】

　　Gは3点A(－1，0)、B(1，0)、P(p，q)を頂点とする三角形の
　　重心なので、　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf G\left(\frac{-1+1+p}{3}\ ,\ \frac{0+0+q}{3}\right)=\underline{\ \left(\frac{p}{3}\ ,\ \frac{q}{3}\right)\ \ }\end{align*}}$ ．
　　Gの座標を(X，Y)とすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\frac{p}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ p=3X\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\frac{q}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ q=3Y\end{align*}}$
　　であり、P(p，q)は曲線C上にあるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p^2}{9}+\frac{q^2}{4}-1\end{align*}}$ ．
　　これらの式よりp、qを消去すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{(3X)^2}{9}+\frac{(3Y)^2}{4}-1\ \ \Leftrightarrow\ \ X^2+\frac{9}{4}\ Y^2=1\end{align*}}$
　　より、点G(X，Y)は楕円
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\frac{9}{4}\ y^2=1\end{align*}}$
　　上を動く。これが曲線C’である（右図）。

　　C’上の点Q(a，b)における接線Lの方程式は
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ \underline{\ ax+\frac{9}{4}\ by=1\ \ }\end{align*}}$
　　であり、Lはx軸およびy軸とそれぞれ
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{a}\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ \left(\frac{4}{9b}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
　　で交わる。よって、求める三角形の面積は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{a}\cdot\frac{4}{9b}=\frac{2}{9ab}\end{align*}}$　････(ア)
　　一方、点Q(a，b)はC’上の点なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2+\frac{9}{4}\ b^2=1\end{align*}}$　････(イ)
　　であり、a²、b²＞0より、
　　相加・相乗平均の関係を用いると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2+\frac{9}{4}\ b^2\geqq 2\sqrt{a^2\cdot\frac{9}{4}\ b^2}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1\geqq 3ab\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{ab}\geqq 3\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ S_1=\frac{2}{9ab}\geqq \frac{2}{3}\end{align*}}$　←(ア)より
　　となるので、S₁の最小値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S_1min=\frac{2}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　この等号が成立するのは、(イ)より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2=\frac{9}{4}\ b^2=\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{3}{2}\ b=\frac{1}{\sqrt2}\ \ (>0)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=\frac{\sqrt2}{2}\ \ ,\ \ b=\frac{\sqrt2}{3}\ \ }\end{align*}}$
　　のときである。

　　さらにS₂は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=\left(1\cdot\frac{2}{3}\cdot\pi\right)\times\frac{1}{4}=\underline{\ \frac{\pi}{6}\ \ }\end{align*}}$
　　なので、S₁=2₂となるのは、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{9ab}=2\cdot\frac{\pi}{6}\ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{2}{3\pi\ a}\end{align*}}$
　　のときであり、これを(イ)に代入すると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2+\frac{9}{4}\left(\frac{2}{3\pi\ a}\right)^2=1\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \pi^2a^4-\pi^2a^2+1=0\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2=\frac{\pi^2\pm\sqrt{\pi^4-4\pi^2}}{2\pi^2}=\underline{\ \frac{\pi\pm\sqrt{\pi^2-4}}{2\pi}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　平方根をとると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\sqrt{\frac{\pi\pm\sqrt{\pi^2-4}}{2\pi}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\frac{2\pi\pm 2\sqrt{(\pi+2)(\pi-2)}}{4\pi}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\sqrt{\pi+2}\pm\sqrt{\pi-2}}{2\sqrt{\pi}}\ \ }\end{align*}}$




　　これまた相加・相乗ですが、気づきましたか？
　　接線の方程式③や面積⑥など、楕円に関する公式もきちんと
　　覚えておきましょう。