2012関西大 理系（全学部） 数学１

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【解答】

　(1)
　　　ｆ(x)の導関数は、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=2x\ e^{-2x}+x^2\cdot e^{-2x}\cdot(-2)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(2x-2x^2)\ e^{-2x}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2x(x-1)\ e^{-2x}\end{align*}}$
　　　となるので、増減表は次のようになる。
　　　　　　　　　　
　　　よって、
　　　　　　　　x=0で極小0　x=1で極大ｅ^-2

　(2)
　　　2接線が直交するためには、傾きの積が－1になればよいので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(a)\cdot f\ '(-a)=-1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{-2a(a-1)\ e^{-2a}\right\}\cdot\left\{2a(-a-1)\ e^{2a}\right\}=-1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4a^2(a-1)(a+1)=-1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4a^4-4a^2+1=(2a^2-1)^20\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2=\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=\frac{1}{\sqrt2}\ (>0)\ \ }\end{align*}}$

　(3)
　　　部分積分法を用いると、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\ x\ e^{-2x}\ dx=\left[x\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)e^{-2x}\right]_0^1-\int_0^1\ 1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)e^{-2x}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\ e^{-2}+\frac{1}{2}\int_0^1\ e^{-2x}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\ e^{-2}+\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\ e^{-2x}\right]_0^1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\ e^{-2}-\frac{1}{4}\left(e^{-2}-1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{3}{4}\ e^{-2}+\frac{1}{4}\ \ }\end{align*}}$

　(4)
　　　(1)の増減表より、0≦x≦1の範囲で常に ｆ(x)≧0となるので、
　　　求める面積をSとすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^1\ x^2\ e^{-2x}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[x^2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)e^{-2x}\right]_0^1-\int_0^1\ 2x\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)e^{-2x}\ dx\end{align*}}$　←部分積分
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\ e^{-2}+\int_0^1\ x\ e^{-2x}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\ e^{-2}+\left(-\frac{3}{4}\ e^{-2}+\frac{1}{4}\right)\end{align*}}$　←(3)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{5}{4}\ e^{-2}+\frac{1}{4}\ \ }\end{align*}}$



　　スラスラっと