第4問
aを定数とし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\cos 2x-(a+2)\cos x+a+1}{\sin x}\end{align*}}$
とするとき、次の問いに答えよ。
(1) 極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x^2}\end{align*}}$ を求めよ。
(2) 等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f\ (x)}{x}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ が成り立つように定数aの値を定めよ。
(3) 上の(2)で求めたaの値に対して定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{\pi /3}^{\pi /2}\frac{1}{f\ (x)}\ dx\end{align*}}$ を
求めよ。
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【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\cos 2x-(a+2)\cos x+a+1}{\sin x}\end{align*}}$ ････①
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos ^2x-1}{x^2\ (\cos x+1)}\end{align*}}$ ←分子・分母×(cosx+1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ^2x}{x^2\ (\cos x+1)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\times\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\cos x+1}\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\end{align*}}$ ････②
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x^2}=-1\cdot\frac{1}{1+1}=\underline{\ -\frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
(2)
①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos 2x-(a+2)\cos x+a+1}{x\ \sin x}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-2\sin^2x-(a+2)\cos x+a+2}{x\ \sin x}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ←cosの倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(a+2)(1-\cos x)}{x\ \sin x}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -2-(a+2)\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x^2}\cdot\frac{x}{\sin x}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -2+\frac{1}{2}(a+2)=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ←(1)と②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=3\ \ }\end{align*}}$
(3)
求める定積分をＩとすると、(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=\int_{\pi /3}^{\pi /2}\frac{\sin x}{\cos 2x-5\cos x+4}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{\pi /3}^{\pi /2}\frac{\sin x}{2\cos^2x-5\cos x+3}\ dx\end{align*}}$ ←cosの倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{\pi /3}^{\pi /2}\frac{\sin x}{(2\cos x-3)(\cos x-1)}\ dx\end{align*}}$ ．
この式において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\cos x\ \ \ \ \left(t\ :\frac{1}{2}\rightarrow 0\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=-\sin x\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=\int_{\frac{1}{2}}^0\frac{\sin x}{(2t-3)(t-1)}\cdot\frac{dt}{-\sin x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{(2t-3)(t-1)}\ dt\end{align*}}$ ････③
ここで、実数A、Bを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{(2t-3)(t-1)}=\frac{A}{2t-3}+\frac{B}{t-1}\end{align*}}$
と変形できるとする。右辺を通分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{(2t-3)(t-1)}=\frac{A(t-1)+B(2t-3)}{(2t-3)(t-1)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(A+2B)t-A-3B}{(2t-3)(t-1)}\end{align*}}$ ．
分子の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A+2B=0\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -A-3B=1\end{align*}}$ ．
であり、これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=2\ \ ,\ \ B=-1\end{align*}}$ ．
よって、③は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=\int_0^{\frac{1}{2}}\left(\frac{2}{2t-3}-\frac{1}{t-1}\right)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[2\cdot\frac{1}{2}\log|2t-3|-\log|t-1|\right]_0^{\frac{1}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log 2-\log\frac{1}{2}-(\log 3-\log 1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\log 2-\log3\ \ }\end{align*}}$
(3)で、③は部分分数の形に変形できればOKですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/05(水) 01:08:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2012(全学)
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