2012関西学院大 理系（全学部日程） 数学２

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【解答】

　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+y^2-4y+2=0\end{align*}}$　････①
　(1)
　　　①に　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{x}{y}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=ky\end{align*}}$　････②
　　　を代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ky)^2+y^2-4y+2=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (k^2+1)y^2-4y+2=0\end{align*}}$　････③
　　　③において、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k^2+1\ne 0\end{align*}}$
　　　なので、③はyについての二次方程式とみなすことができる。
　　　yは実数なので、判別式を考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=2^2-2(k^2+1)\geqq 0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k^2+1\leqq 2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ -1\leqq k\leqq 1\ \ }\end{align*}}$

　(2)
　　　zの式に②を代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=\frac{(ky)^2+4ky^2+9y^2}{ky^2+2y^2}\end{align*}}$
　　　となり、分子・分母をy²（≠0）で割ると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ z=\frac{k^2+4k+9}{k+2}\ \ }\end{align*}}$

　(3)
　　　(2)で得られた式の分子を分母で割ると、
　　　商がｋ+2、余りが5となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=k+2+\frac{5}{k+2}\end{align*}}$
　　　と変形でき、(1)より ｋ+2＞0なので、
　　　相加・相乗平均の関係を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k+2+\frac{5}{k+2}\geqq 2\sqrt{(k+2)\cdot\frac{5}{k+2}}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ z\geqq 2\sqrt 5\end{align*}}$ ． ････④
　　　よって、zの最小値は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 2\sqrt5\ \ }\end{align*}}$ ．

　　　また、④の等号が成立するのは、(1)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k+2=\frac{5}{k+2}\ \ \Leftrightarrow\ \ (k+2)^2=5\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ k=-2+\sqrt5\ \ }\end{align*}}$
　　　のときである。

　(4)
　　　(3)で求めたｋと②より、　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=(-2+\sqrt5)y\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{x}{-2+\sqrt5}=(2+\sqrt5)\ x\end{align*}}$
　　　となり、これを①に代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+(2+\sqrt5)^2\ x^2-4(2+\sqrt5)x+2=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (5+2\sqrt5)\ x^2-2(2+\sqrt5)\ x+1=0\end{align*}}$ ．
　　　これの2解が$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ なので、解と係数の関係より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha+\beta=\frac{2(2+\sqrt5)}{5+2\sqrt5}=\underline{\ \frac{2}{\sqrt5}\ \ }\end{align*}}$



　　(3)で、分数式の変形→相加・相乗 の流れに気づきますか？　
　　　まぁ、最悪の場合はｋで微分しても構いませんが・・・