2011京都府立医大 数学３

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【解答】

　(１)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_{-2}^{2a}\sqrt{a}\ (x+2)^{\frac{1}{2}}\ dx=\left[\frac{2}{3}\sqrt{a}\ (x+2)^{\frac{3}{2}}\right]_{-2}^{2a}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{2}{3}\sqrt{a}\ (2a+2)^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{4\sqrt2}{3}\ a^{\frac{1}{2}}(a+1)^{\frac{3}{2}}\ \ }\end{align*}}$

　(２)
　　　Ｃ₁：ｙ＝ｇ(ｘ)、Ｃ₂：ｙ＝ｈ(ｘ)とすると、
　　　　　　　　{ｈ(ｘ)}²－{ｇ(ｘ)}²
　　　　　　　＝(ｘ²＋２ｘ)－ａ(ｘ＋２)
　　　　　　　＝(ｘ－ａ)(ｘ＋２)
　　　より、
　　　　　　０≦ｘ≦ａの範囲では、ｇ(ｘ)≧ｈ(ｘ)
　　　　　　ａ≦ｘ≦２ａの範囲では、ｇ(ｘ)≦ｈ(ｘ)
　　　となる。
　　　よって、２曲線の位置関係は右図のようになり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_1(a)=\int_{-2}^a\ g\ (x)\ dx-\int_0^a\ h\ (x)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_2(a)=\int_{a}^{2a}\ h\ (x)\ dx-\int_a^{2a}\ g\ (x)\ dx\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (a)=\left(\int_{-2}^a\ g\ (x)\ dx-\int_0^a\ h\ (x)\ dx\right)-\left(\int_{a}^{2a}\ h\ (x)\ dx-\int_a^{2a}\ g\ (x)\ dx\right)\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(\int_{-2}^{a}\ g\ (x)\ dx+\int_a^{2a}\ g\ (x)\ dx\right)-\left(\int_{0}^{a}\ h\ (x)\ dx+\int_a^{2a}\ h\ (x)\ dx\right)\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int^{2a}_{-2}\ g\ (x)\ dx-\int_0^{2a}\ h\ (x)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{4\sqrt2}{3}\ a^{\frac{1}{2}}(a+1)^{\frac{3}{2}}-\int_0^{2a}\ h\ (x)\ dx\end{align*}}$　←(１)より

　　　ここで、ｈ(ｘ)の不定積分の１つをＨ(ｘ)とおくと、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{d}{da}\int_0^{2a}\ h\ (x)\ dx=\frac{d}{da}\left[H\ (x)\right]_{0}^{2a}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{d}{da}\left\{H\ (2a)-H\ (0)\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\ h\ (2a)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\sqrt{2a(2a+2)}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =4\ a^{\frac{1}{2}}(a+1)^{\frac{1}{2}}\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(a)=\frac{4\sqrt2}{3}\left\{ \frac{1}{2}a^{-\frac{1}{2}}(a+1)^{\frac{3}{2}}+a^{\frac{1}{2}}\cdot\frac{3}{2}(a+1)^{\frac{1}{2}}\right\}-4\ a^{\frac{1}{2}}(a+1)^{\frac{1}{2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{2}{3}\ a^{\frac{1}{2}}(a+1)^{\frac{1}{2}}\left\{\frac{\sqrt2\ (a+1)}{a}+3\sqrt2-6\right\}\end{align*}}$
　　　となり、ａ＞０の範囲でｆ’(ａ)＝０となるのは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\sqrt2\ (a+1)}{a}+3\sqrt2-6=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{3\sqrt2+4}{2}\end{align*}}$
　　　のときである。
　　　この値を$\scriptsize\sf{\alpha}$ とおいて増減表を書くと下のようになる。
　　　　　　　　
　　　よって、ｆ(ａ)が極値をとるようなａの値は、
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ a=\frac{3\sqrt2+4}{2}\ \ }\end{align*}}$

　(３)
　　　ａ＞０より、０≦ｘ≦２ａの範囲で常に
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2+2x\geqq x^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{x^2+2x}\geqq x\end{align*}}$
　　　が成り立つので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{2a}\sqrt{x^2+2x}\ dx>\int_0^{2a}\ x\ dx=\left[\frac{1}{2}\ x^2\right]_0^{2a}=2a^2\end{align*}}$ ．
　　　よって、題意は示された。

　(４)
　　　(３)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{2a}\ h (x)\ dx>2a^2\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (a)=\frac{4\sqrt2}{3}\ a^{\frac{1}{2}}(a+1)^{\frac{3}{2}}-\int_0^{2a}\ h\ (x)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf <\frac{4\sqrt2}{3}\ a^{\frac{1}{2}}(a+1)^{\frac{3}{2}}-2a^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{4\sqrt2}{3}\ a^2\left\{a^{-\frac{3}{2}}\ (a+1)^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2\sqrt2}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{4\sqrt2}{3}\ a^2\left\{\left(1+\frac{1}{a}\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2\sqrt2}\right\}\end{align*}}$ ．
　　　ここで、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow\infty}\frac{4\sqrt2}{3}\ a^2\left\{\left(1+\frac{1}{a}\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2\sqrt2}\right\}=+\infty\times\left(1-\frac{3}{2\sqrt2}\right)=-\infty \end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ f\ (a)=-\infty\end{align*}}$ ．

　　　一方、(２)の増減表より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{f(\alpha)\gt 0}$
　　　であり、関数ｆ(ａ)はａ＞０の範囲で連続なので、
　　　中間値の定理より、ｆ(ａ)＝０となるａが$\scriptsize\sf{a\gt\alpha}$ の範囲に存在する。
　　　よって、Ｓ₁(ａ)＝Ｓ₂(ａ)となるようなａが存在する。



　　これは誘導がしっかりしているので、取っつきやすいですよね。