2011京都府立医大 数学１

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【解答】

　(１)
　　　ａ、ｂ、ｃ、ｄを実数として、行列Ａを　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A=\begin{pmatrix}\sf a&\sf b\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　とおく。
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix}\sf a&\sf b\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 1\\ \sf 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf a\\ \sf c\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix}\sf a& \sf b\\ \sf c& \sf d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf a\\ \sf c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf a^2+bc\\ \sf (a+d)c\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　より、点ＱおよびＲの座標は、
　　　　　　　　　　Ｑ(ａ，ｃ) 、　Ｒ(ａ²＋ｂｃ，(ａ＋ｄ)ｃ)
　　　となる。よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf OQ}+\overrightarrow{\sf OR}=(1+a+a^2+bc\ ,\ 0+c+(a+d)c)=(0\ ,\ 0)\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　　１＋ａ＋ａ²＋ｂｃ＝０　････①　かつ
　　　　　　　　(ａ＋ｄ＋１)ｃ＝０　････②
　　　ここで②より
　　　　　　　　ｃ＝０　または　ａ＋ｄ＋１＝０
　　　となるが、ｃ＝０のときは、①が
　　　　　　　　ａ²＋ａ＋１＝０
　　　となり、これを満たす実数ａは存在しない。（∵ 判別式Ｄ＝１－４＜０）
　　　よって、
　　　　　　　　ａ＋ｄ＝－１　････②’
　　　となり、これと①より、Ｒの座標は、
　　　　　　　　Ｒ(－１－ａ，－ｃ)
　　　と表すことができる。このとき、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix}\sf a& \sf b\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf -1-a\\ \sf -c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf -a-a^2-bc\\ \sf -(1+a+d)c\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\begin{pmatrix}\sf 1\\ \sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$　←①、②’より
　　　より、ｆ(Ｒ)＝Ｐとなるので、題意は示された。

　(２)
　　　ハミルトン・ケーリーの定理より、
　　　　　　　　Ａ²－(ａ＋ｄ)Ａ＋(ａｄ－ｂｃ)Ｅ＝Ｏ　････③
　　　②’より、
　　　　　　ａｄ－ｂｃ＝ａ(－１－ａ)－ｂｃ
　　　　　　　　　　　＝－ａ－ａ²－ｂｃ
　　　　　　　　　　　＝１　　←①より
　　　これと②’より③は
　　　　　　　　Ａ²＋Ａ＋Ｅ＝Ｏ
　　　と変形できるので、題意は示された。

　(３)
　　　(１)より、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PQ}=(a-1\ ,\ c)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf PR}=(-2-a\ ,\ c))\end{align*}}$
　　　となり、題意より、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle PQR=\frac{1}{2}\left|-c(a-1)-c(-2-a)\right|=\frac{3}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　⇔　|３ｃ|＝３
　　　　　　　⇔　ｃ＝±１．　
　　　これより、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf PQ}|^2=(a-1)^2+c^2=5\ \ \Leftrightarrow\ \ a=3\ ,\ -1\end{align*}}$ ．　
　　　さらに①、②’より
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=-\frac{1+a+a^2}{c}\ \ ,\ \ d=-1-a\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　(ａ，ｃ)＝(３，１)、(３，－１)、(－１，１)、(－１，－１)
　　　のそれぞれの場合について、ｂ、ｄを計算すると、
　　　　　　　(ｂ，ｄ)＝(－13，－４)、(13，－４)、(－１，０)、(１，０)
　　　となる。
　　　よって、行列Ａは、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ A=\begin{pmatrix}\sf 3&\sf -13\\ \sf 1&\sf -4\end{pmatrix}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix}\sf 3&\sf 13\\ \sf -1&\sf -4\end{pmatrix}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix}\sf -1&\sf -1\\ \sf 1&\sf 0\end{pmatrix}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix}\sf -1&\sf 1\\ \sf -1&\sf 0\end{pmatrix}\ }\end{align*}}$



　　(１)、(２)は成分計算しなくてもできそうですが、
　　どのみち(３)で必要になってきます。