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【解答】

　(１)
　　　　n回目にBがサイコロを投げる確率をb_nとする。
　　　　
　　　　n回目にAが投げるのは
　　　　　　・n-1回目にＡが投げて、1～3の目を出す
　　　　　　・n-1回目にＢが投げて、4，5の目を出す　　　　　　
　　　　の2パターンあるので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{3}{6}a_{n-1}+\frac{2}{6}b_{n-1}\end{align*}}$･･････①
　　　　Bについても同様に考えると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{2}{6}a_{n-1}+\frac{3}{6}b_{n-1}\end{align*}}$･･････②
　　　　また、1回目はAが投げるので、a₁=1、 b₁=0

　　　　①+②より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n+b_n=\frac{5}{6}\left(a_{n-1}+b_{n-1}\right)\end{align*}}$
　　　　　数列{ａ_n＋ｂ_n}は、初項a₁+b₁=1の等比数列をなすので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n+b_n=\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\end{align*}}$･････③

　　　　また、①－②より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-b_n=\frac{1}{6}\left(a_{n-1}-b_{n-1}\right)\end{align*}}$
　　　　　数列{ａ_n－ｂ_n}は、初項ａ₁－ｂ₁＝１の等比数列をなすので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-b_n=\left(\frac{1}{6}\right)^{n-1}\end{align*}}$･････④
　
　　　　③、④を連立させて解くと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{1}{2}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^{n-1} \ \ , \ \ \ b_n=\frac{1}{2}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^{n-1}\end{align*}}$　　　　


　　(２)
　　　　n回目にAがサイコロを投げて、6の目が出ればよいので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\frac{1}{6}a_n=\frac{1}{12}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}+\frac{1}{12}\left(\frac{1}{6}\right)^{n-1}\end{align*}}$　　　　


　　(３)
　　　　q_n=p₁+p₂+･････+p_nなので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_n=\frac{1}{12} \sum^{\sf n}_{\sf k=1} \sf \bigg\{\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}+\left(\frac{1}{6}\right)^{n-1} \bigg\}\end{align*}}$　　　　
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12} \cdot \frac{1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n}}{1-\frac{5}{6}}+\frac{1}{12} \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{6}\right)^{n}}{1-\frac{1}{6}}\end{align*}}$　　　　　　
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{5}-\frac{1}{2}\left(\frac{5}{6}\right)^{n}-\frac{1}{10}\left(\frac{1}{6}\right)^{n}\end{align*}}$