2012関西学院大 理系（個別日程） 数学４

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【解答】

　(1)
　　　ｆ(x)の導関数は、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{1\cdot(1+4x^2)-x\cdot 8x}{(1+4x^2)^2}=\frac{1-4x^2}{(1+4x^2)^2}\end{align*}}$
　　　となるので、増減表は次のとおり。
　　　　　　　　
　　　よって、
　　　　　　　極大　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{4}\ \ \ \left(x=\frac{1}{2}\right)\ \ }\end{align*}}$　　　　　極小　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -\frac{1}{4}\ \ \ \left(x=-\frac{1}{2}\right)\ \ }\end{align*}}$

　(2)
　　　(1+4x²)’=8x なので、積分定数をCとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int\ f\ (x)\ dx=\frac{1}{8}\int\frac{(1+4x^2)'}{1+4x^2}\ dx\end{align*}}$
　　　　　 　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{8}\log\left(1+4x^2\right)+C\ \ }\end{align*}}$

　(3)
　　　ｆ($\scriptsize\sf{\alpha}$ )=ｆ($\scriptsize\sf{\beta}$ )より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\alpha}{1+4\alpha^2}=\frac{\beta}{1+4\beta^2}\end{align*}}$
　　　　　　⇔　$\scriptsize\sf{\alpha}$ (1+4$\scriptsize\sf{\beta}$ ²)=$\scriptsize\sf{\beta}$ (1+4$\scriptsize\sf{\alpha}$ ²)
　　　　　　⇔　($\scriptsize\sf{\alpha}$ －$\scriptsize\sf{\beta}$ )+4$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ ($\scriptsize\sf{\beta}$ －$\scriptsize\sf{\alpha}$ )=0
　　　ここで、$\scriptsize\sf{\alpha}$ －$\scriptsize\sf{\beta}$ ≠0なので、
　　　　　　　　　1－4$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =0　⇔　$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{4}\ \ }\end{align*}}$

　(4)
　　　(3)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=\frac{1}{4\beta}\end{align*}}$
　　　であり、これと(2)より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\alpha}^{\beta}\ f\ (x)\ dx=\frac{1}{8}\left\{\log\left(1+4\beta^2\right)-\log\left(1+4\alpha^2\right)\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8}\log\frac{1+4\beta^2}{1+\frac{1}{4\beta^2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8}\log 4\beta^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8}\left(2\log 2+2\log \beta\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left(\log \beta+\log 2\right)\end{align*}}$
　　　となるので、題意は示された。



　　これまた、そのまま計算するだけです。