2012関西学院大 理系（個別日程） 数学３

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【解答】

　(1)
　　　外接円の半径は1なので、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=|\overrightarrow{\sf c}|=1\end{align*}}$　
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=1\cdot 1\cdot\cos\frac{2}{3}\pi=\underline{\ -\frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=1\cdot 1\cdot\cos\frac{5}{6}\pi=\underline{\ -\frac{\sqrt3}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle COA=2\pi-\frac{2}{3}\pi-\frac{5}{6}\pi=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=\underline{\ 0\ \ }\end{align*}}$ ．

　(2)
　　　Pは辺ABを2：1に内分する点なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}}{3}\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|^2=\frac{1}{9}\left(|\overrightarrow{\sf a}|^2+4\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+4|\overrightarrow{\sf b}|^2\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{9}\left(1-2+4\right)\end{align*}}$　　←(1)より
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{3}\ \ }\end{align*}}$

　(3)
　　　Gは△ABCの重心なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}}{3}\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OG}|^2=\frac{1}{9}\left(|\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2+|\overrightarrow{\sf c}|+2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+2\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+2\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{9}\left(1+1+1-1-\sqrt3+0\right)\end{align*}}$　　←(1)より
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2-\sqrt3}{9}\ \ }\end{align*}}$

　(4)
　　　(2)、(3)より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OG}=\frac{\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}}{3}\cdot\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{9}\left(|\overrightarrow{\sf a}|^2+2|\overrightarrow{\sf b}|^2+3\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+2\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{9}\left(1+2-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}+0\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3-2\sqrt3}{18}\ \ }\end{align*}}$
　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OPG=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf OP}|^2|\overrightarrow{\sf OG}|^2-\left(\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OG}\right)^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{3}\cdot\frac{2-\sqrt3}{9}-\left(\frac{3-2\sqrt3}{18}\right)^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\sqrt3}{36}\ \ }\end{align*}}$



　　ただただ計算するだけです。