2012関西学院大 理系（個別日程） 数学２

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【解答】

　(1)
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{3}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{5}{2}n(n+1)\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ n(n+1)(n+3)\ \ }\end{align*}}$

　(2)
　　　ｎとｎ+3は3で割った余りが等しいので、
　　　S_nが3の倍数になるためには、ｎまたはｎ+1が3の倍数であればよい。
　　　すなわち、ｎは「3の倍数」または「3で割って2余る数」であればよい。
　　　よって、
　　　　　　a₁=2、　a₂=3、　a₃=5、　a₄=6
　　　である。
　　　{a_n}の奇数番目の項は、初項2、公差3の等差数列をなし、
　　　偶数番目の項は、初項3、公差3の等差数列をなすので、
　　　自然数ｍに対して
　　　　　　a_2m-1=2+3(ｍ－1)=3ｍ－1
　　　　　　　a_2m=3ｍ
　　　と表すことができる。
　　　よって、
　　　　　　a₁₀₀=a_2･50=150．

　(3)
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2^{a_n}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{a_n}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_n=\sum_{k=1}^{2n}\left(\frac{1}{2}\right)^{a_k}\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{m=1}^n\ \left\{\left(\frac{1}{2}\right)^{a_{2m-1}}+\left(\frac{1}{2}\right)^{a_{2m}}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{m=1}^n\ \left\{\left(\frac{1}{2}\right)^{3m-1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{3m}\right\}\end{align*}}$　　←(2)より
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{m=1}^n\ \left\{2\left(\frac{1}{8}\right)^{m}+\left(\frac{1}{8}\right)^{m}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3\sum_{m=1}^n\ \left(\frac{1}{8}\right)^{m}\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3\cdot\frac{\frac{1}{8}\left\{1-\left(\frac{1}{8}\right)^n\right\}}{1-\frac{1}{8}}\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3}{7}\left\{1-\left(\frac{1}{8}\right)^n\right\}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ T_n=\underline{\ \frac{3}{7}\ \ }\end{align*}}$

　(4)
　　　S_nが5の倍数になるためには、ｎ、ｎ+1、ｎ+3のいずれかが
　　　5の倍数であればよい。
　　　すなわち、ｎは
　　　　　　　・5の倍数
　　　　　　　・5で割って2余る数
　　　　　　　・5で割って4余る数
　　　のいずれかであればよい。
　　　よって、
　　　　　　a₁=2、　a₂=4、　a₃=5、　a₄=7
　　　である。
　　　自然数ｍに対して、
　　　第3m－2番目の項は、5で割って2余る数の列になるので、
　　　　　　a_3m-2=2+5(ｍ－1)=5ｍ－3．
　　　この式おいて、ｍ=34とすると、
　　　　　　a₁₀₀=5･34－3=167