① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}\end{align*}}$　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2+\sqrt3\end{align*}}$　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$　　　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{15}\end{align*}}$　　　　

　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{18}{25}\end{align*}}$　　　　⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt3\end{align*}}$　　　　⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\sqrt3-\frac{4}{3}\ \pi\end{align*}}$　　　　⑧ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{12}{5}\end{align*}}$　　　　


【解説】

　(1)　
　　　ｆ(x)の右辺を合成すると、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=2\left(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)+1=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1\end{align*}}$
　　　となり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{3}\leqq x-\frac{\pi}{3}\leqq \frac{2}{3}\pi \end{align*}}$　････(ア)
　　　なので、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=\frac{\pi}{6}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　一方、(ア)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\sqrt3}{2}\leqq \sin\left(x-\frac{\pi}{3} \right) \leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 1-\sqrt3\leqq f\ (x)\leqq 3\end{align*}}$
　　　なので、最大値と最小値の差は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3-\left(1-\sqrt3\right)=\underline{\ 2+\sqrt3\ \ }\end{align*}}$

　(2)
　　　集合Ｕの要素の個数は、
　　　　　　　999－100+1=900個
　　　であり、この中に含まれる3の倍数は、
　　　102、105、･･･、999 であり、その個数は、
　　　　　　　(999－102)÷3+1=300個．
　　　よって、3の倍数を選ぶ確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{300}{900}=\underline{\ \frac{1}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．

　　　0～9の中から異なる3つの数を選ぶ組み合わせは、
　　　　　　　　₁₀C₃=120通り．
　　　a＞b＞cより、3数の並び方は1通りに決まるので、
　　　a＞b＞cとなる確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{120}{900}=\underline{\ \frac{2}{15}\ \ }\end{align*}}$ ．

　　　0～9の中から異なる3数を並べる順列は、
　　　　　　　　₁₀P₃=720通り．
　　　このうちで、a=0となるものは、
　　　　　　　　₉P₂=72通り．
　　　よって、a、b、cがすべて異なる確率は、　　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{720-72}{900}=\underline{\ \frac{18}{25}\ \ }\end{align*}}$ ．

　(3)
　　　ＯA⊥APより、△AＯPで三平方の定理を用いると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\underline{\ 2\sqrt3\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　∠PＯA=∠PＯA’=60°なので、
　　　　　　　△PＯA+△PＯA’－扇形ＯAA’
　　　を計算すると、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(2\times 2\sqrt3\times\frac{1}{2}\right)\times 2-2^2\ \pi\times\frac{120}{360}=\underline{\ 4\sqrt3-\frac{4}{3}\ \pi\ \ }\end{align*}}$ ．
　
　　　△BＯPで三平方の定理を用いると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BP=\sqrt{OP^2+OB^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5\end{align*}}$ ．
　　　円CとPBの交点をDとすると、
　　　方べきの定理より、

　　　　　　　　PB・PD=PA²
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sqrt5\cdot PD=(2\sqrt3)^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ PD=\frac{6\sqrt5}{5}\end{align*}}$ ．
　　　△PBＯ∽△PDHなので、
　　　　　　　　PＯ：PH=PB：PD
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\ :\ PH=2\sqrt5\ :\ \frac{6\sqrt5}{5}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ PH=\frac{12}{5}\ \ }\end{align*}}$ ．



　　標準的な問題ばかりですね。