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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011関西大 理系数学(2月2日) 2



第2問

  a、bを実数の定数とし、3つの行列
       $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 3&\sf -2 \\ \sf a & \sf 1 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ R=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 5&\sf -4 \\ \sf 6 & \sf -5 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ Q=\begin{pmatrix} \sf \frac{1}{2}&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf b \end{pmatrix}\end{align*}}$
  はAR=QAを満たしている、次の    をうめよ。

   AR=QAを満たすaの値は2つある。そのうちAが逆行列を
  もたないのは、a= ①  のときであり、このときb= ② 
  である。Aが逆行列A-1をもつものは、a= ③  のときであり、
  このとき、A-1= ④  、b= ⑤  である。

   nを2以上の自然数として、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=A+AR+AR^2+\ldots +AR^{n-1}\end{align*}}$
  とおく。AR=QAであるから、Snは実数xn、ynを用いて、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\begin{pmatrix}\sf x_n &\sf 0\\ \sf 0 &\sf y_n\end{pmatrix}\ A\end{align*}}$
  と表される。
   a= ③  のときは、xn= ⑥  、yn= ⑦  である。
  したがって、Eを単位行列として、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf E+R+R^2+\ldots +R^{n-1}=\begin{pmatrix}\sf p_n &\sf q_n\\ \sf r_n &\sf s_n\end{pmatrix}\end{align*}}$
  とおくと、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ p_n=\end{align*}}$  ⑧ 
  である。


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