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【解答】

　(１)
　　　　線分APの方程式は
　　　　　　y=-3px+3p （0≦x≦1）
　　　　これとCとの交点を求めるために
　　　　　　　-3x²+3=-3px+3p
　　　　　⇔　(x-1)(x-p+1)=0
　　　　を解くと、
　　　　　　　x=1、p-1
　　　　線分APとCがAと異なる点Qを共有するためには
　　　　　　　0≦p-1＜1
　　　　であればよいので、
　　　　　　　1≦p＜2




　　(２)
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_1=\int_{p-1}^1\{ (-3x^2+3)-(-3px+3p)\}dx\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-3\int_{p-1}^1 (x-1)\{x-(p-1)\}dx\end{align*}}$　
　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-3　\cdot \left(- \frac{1}{6}\right)\{1-(p-1)\}^3\end{align*}}$　
　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =- \frac{1}{2}p^3+3p^2-6p+4\end{align*}}$　

　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_2=\sf \int_{0}^{p-1}\{ (-3px+3p)-(-3x^2+3)\}dx\end{align*}}$
　　 　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left[ x^3-\frac{3}{2}x^2+3(p-1)x\right]_0^{p-1}\end{align*}}$　　　　
　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =- \frac{1}{2}p^3+3p^2-\frac{9}{2}p+2\end{align*}}$　
　　　　
　　　　よって、　　
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_1+S_2= -p^3+6p^2-\frac{21}{2}p+2\end{align*}}$　　　　
　　　　これをｆ(ｐ)とおくと、
　　 　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(p)=-3p^2+12p-\frac{21}{2}\end{align*}}$
　　　　ｆ'(p)=0となるときのｐは、　　　　
　　 　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}}$　　　　
　　　　(１)より1≦p＜2なので、この範囲で増減表を書くと、

　　　　　　　　　　　　

　　　　以上より、S₁とS₂の面積の和が最小となるpの値は、
　　 　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=2 - \frac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}}$　　　　



　　(２)の積分計算はもう少し楽にやる方法もあるのですが、文系なのでそのまま計算しました。