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【解答】

　(１)
　　　　OA、OBに関して点Cと対称な点をそれぞれ
　　　　C'、C"とすると、
　　　　　CP=C'P、 QC=QC"より、
　　　　CP+PQ+QC=C'P+PQ+QC"
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(右図の青線)



　　　
　　　　これを最小にするには、４点C'、P、Q、C"が
　　　　一直線上にくるようにP、Qを動かせばよい。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（右図の緑色の線）



　　　　∠COA=∠C'OA、∠COB=∠C"OBなので、
　　　　　　　∠C'OC"=2∠AOB=2$\scriptsize\sf{\theta}$
　　　　C'C"の中点をMとすると、
　　　　　　　OM⊥C'C" かつ ∠C'OM=$\scriptsize\sf{\theta}$
　　　　また、OC=OC'=OC"=r
　　　　以上より、
　　　　　CP+PQ+QC≧C'C"
　　　　　　　　　　　　　　=2C'M
　　　　　　　　　　　　　　=2OC'sin$\scriptsize\sf{\theta}$
　　　　　　　　　　　　　　=2rsin$\scriptsize\sf{\theta}$

　　　　よって、CP+PQ+QCの最小値は、2rsin$\scriptsize\sf{\theta}$


　　(２)

　　　　OA、OBに関して点Dと対称な点をそれぞれ
　　　　D'、D"とする。
　　　　(１)と同様に考えると、
　　　　　　DP+PQ+QD=D'P+PQ+QD"
　　　　これを最小にするには、4点D'、P、Q、D"が
　　　　一直線上にくるようにP、Qを動かせばよい。
　　　　
　　　　また、(１)と同様に、∠D'OD"=2∠AOB＝２$\scriptsize\sf{\theta}$ であり、
　　　　D'D"の中点をNとすると、

　　　　　DP+PQ+QD≧D'D"
　　　　　　　　　　　　　　=2D'N
　　　　　　　　　　　　　　=2OD'･sin$\scriptsize\sf{\theta}$
　　　　　　　　　　　　　　=2asin$\scriptsize\sf{\theta}$

　　　　よって、DP+PQ+QDの最小値は、2asin$\scriptsize\sf{\theta}$


　　(３)
　　　　aが最小になるのは、OD⊥ABのとき。
　　　　△OABは二等辺三角形なので、ODは
　　　　∠AOBを二等分する。
　　　　よって、aの最小値は
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2r\cos\frac{\theta}{2}\end{align*}}$
　　　　になるので、DP+PQ+QDの最小値は
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2r\sin\theta\cos\frac{\theta}{2}\end{align*}}$

　　　　

　　　　　　(１)と(２)の問題がかぶっている理由がよく分かりませんが･････