ホ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log\left|\frac{x}{a-x}\right|\end{align*}}$　　　　マ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{x}+\frac{1}{a-x}\end{align*}}$　　　　ミ 0

　ム $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2}\end{align*}}$　　　　メ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\log \frac{a}{2}\end{align*}}$　　　　モ 2ｅ^-1　　　　ヤ －2ｅ^-1

　ユ a+1　　　　ヨ log(a+1)　　　　ラ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a(a+1)}{a+2}\end{align*}}$



【解説】

　(1)
　　　ｆ(x)の第1次および第2次導関数は、　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\log |x|+x\cdot\frac{1}{x}-\log|a-x|-\frac{a-x}{a-x}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log|x|-\log|a-x|\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \log\left|\frac{x}{a-x}\right|\ \ }\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=\underline{\ \frac{1}{x}+\frac{1}{a-x}\ \ }\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ f\ '(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\ \log\left|\frac{1}{\frac{a}{x}-1}\right|=\log 1=\underline{\ 0\ \ }\end{align*}}$

　(2)
　　　ｆ’(x)=0となるのは、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\frac{x}{a-x}\right|=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm(a-x)\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{a}{2}\end{align*}}$
　　　のときなので、ｆ(x)の増減表は下のようになる。
　　　　　　　　
　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\underline{\ \frac{a}{2}\ \ }\end{align*}}$　のとき、極小値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\underline{\ a\ \log\frac{a}{2}\ \ }\end{align*}}$　をとる。
　　　このｍをaで微分すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m\ '=1\cdot\log\frac{a}{2}+a\cdot\frac{2}{a}\cdot\frac{1}{2}=\log\frac{a}{2}+1\end{align*}}$
　　　となり、ｍ’=0となるのは、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log\frac{a}{2}=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ a=2\ e^{-1}\end{align*}}$
　　　のときである。
　　　　　　　　
　　　増減表より、
　　　a=2ｅ^-1 で、ｍは最小値 －2ｅ^-1 をとる。

　(3)
　　　点(p，ｆ(p))におけるy=ｆ(x)の接線をＬとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-f\ (p)=f\ '(p)(x-p)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\log\left|\frac{p}{a-p}\right|(x-p)+p\log |p|+(a-p)\log |a-p|\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\left(\log\left|\frac{p}{a-p}\right|\right)x+a\log |a-p|\end{align*}}$ 　････①
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\left(\log\frac{p}{p-a}\right)x+a\log(p-a)\ \ \ \ (\because p>a>0\ )\end{align*}}$
　　　であり、これが原点を通るので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\log(p-a)=0\end{align*}}$ ．
　　　a≠0なので、
　　　　　　　　　　p－a=1　⇔　p=a+1
　　　であり、このpに対して、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(p)=\log\left|\frac{p}{p-a}\right|=\log\left|\frac{a+1}{(a+1)-a}\right|=\underline{\ \log(a+1)\ \ }\end{align*}}$ ．

　　　点(q，ｆ(q))における接線の方程式は、①と同様に考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\left(\log\left|\frac{q}{a-q}\right|\right)x+a\log |a-q|\end{align*}}$ ････①’
　　　となり、切片をｋとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=a\log |a-q|\ \ (\ne0)\end{align*}}$ ････②
　　　直線①’の傾きがlog(a+1)と等しいので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log\left|\frac{q}{a-q}\right|=\log (a+1)\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{q}{a-q}=\pm(a+1)\end{align*}}$ ．

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \frac{q}{a-q}=-(a+1)\end{align*}}$　のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=-(a+1)(a-q)\ \ \Leftrightarrow\ \ q=a+1\end{align*}}$ ．
　　　　　　　　このとき、②より
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=a\log|-1|=0\end{align*}}$
　　　　　　　　となり不適

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \frac{q}{a-q}=a+1\end{align*}}$　のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=(a+1)(a-q)\ \ \Leftrightarrow\ \ q=\frac{a(a+1)}{a+2}\end{align*}}$ ．
　　　　　　　　このとき、②より
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=a\log\left|a-\frac{a(a+1)}{a+2}\right|=a\log\left|\frac{a}{a+2}\right|\end{align*}}$ ．
　　　　　　　　ここでa＞0なので、
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{a+2}\ne \pm 1\ \ \Leftrightarrow\ \ k\ne a\log|\pm 1|=0\end{align*}}$
　　　　　　　　となるので、題意を満たす。
　　　よって、求めるx座標は、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{a(a+1)}{a+2}\ \ }\end{align*}}$ ．



　　一番最後が少し難しいぐらいで、あとは問題ないと思います。