ケ a　　　　コ －b　　　　サ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{b}{a^2+b^2}\end{align*}}$　　　　シ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{a^2+b^2}\end{align*}}$

　　ス －1　　　セ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$　　　　ソ 2　　　　　タ 0

　　チ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{2}\ |b|\end{align*}}$　　　　ツ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{4}\end{align*}}$



【解説】

　　ＪA=AＪより　
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 0 &\sf -1\\ \sf 1&\sf 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf p &\sf q\\ \sf b &\sf a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf p &\sf q\\ \sf b &\sf a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 0&\sf -1\\ \sf 1&\sf 0\end{pmatrix}\ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix}\sf -b &\sf -a\\ \sf p&\sf q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf q&\sf -p\\ \sf a &\sf -b\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　であり、成分を比較すると、
　　　　　　　　p=a 、　q=－b
　　となり、　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a&\sf -b\\ \sf b &\sf a\end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
　　このAに対して、デターミナントの値は、
　　　　　　　　a²+b²≠0
　　となるので、逆行列A^-1が存在し、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^{-1}=\frac{1}{a^2+b^2}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf -b & \sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{b}{a^2+b^2}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf -1 \\ \sf 1 & \sf 0 \end{pmatrix}+\frac{a}{a^2+b^2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{b}{a^2+b^2}\ J+\frac{a}{a^2+b^2}\ E\end{align*}}$

　(1)
　　　Aのデターミナントをd=a²+b²とおく。
　　　ハミルトン・ケーリーの定理より
　　　　　　A²－(a+a)A+(a²+b²)E=Ｏ　
　　　　⇔　A²=2aA－dE．
　　　これより、
　　　　　　　　A³=A(2aA－dE)
　　　　　　　　　　=2aA²－dA
　　　　　　　　　　=2a(2aA－dE)－dA
　　　　　　　　　　=(4a²－d)A－2adE=8E
　　　　　　⇔　(4a²－d)A=(2ad+8)E

　　　(ⅰ) 4a²－d=0 ････① のとき
　　　　　　　　　　　Ｏ=(2ad+8)E
　　　　　　となり、E≠Ｏより 2ad+8=0 ････②
　　　　　　①、②よりdを消去すると、
　　　　　　　　　　8a³+8=0　⇔　a=－1
　　　　　　①より、
　　　　　　　　　　d=a²+b²=4a²　⇔　b²=3a²=3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇔　b=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pm\sqrt3\end{align*}}$

　　　(ⅱ) 4a²－d≠0のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{2ad+8}{4a^2-d}\ E\end{align*}}$
　　　　　　となるので、A=ｋE（ｋ：定数）と表すことができる。
　　　　　　よって、　
　　　　　　　　　A³=ｋ³E=8E　⇔　ｋ=2
　　　　　　となるので、
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 2&\sf 0\\ \sf 0&\sf 2\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　より、a=2、 b=0

　(2)
　　　Qの座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a&\sf -b\\ \sf b &\sf a\end{pmatrix}\binom{2}{1}=\binom{2a-b}{a+2b}\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　　Q(2a－b，a+2b)．
　　　このとき、△ＯPQの面積Sは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\left|2(a+2b)-(2a-b)\right|=\underline{\ \frac{5}{2}\ |b|\ \ }\end{align*}}$
　　　また、
　　　　　　a²+b²=a　⇔　a²－a+b²=0
　　　これをaについての二次方程式とみなすと、aは実数なので、
　　　判別式を考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=1-4b^2\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ b^2\leqq \frac{1}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq |b|\leqq \frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 0\leqq S\leqq \frac{5}{4}\ \ }\end{align*}}$


　　第1問に続き、ここでも面積の公式
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{Blue}S=\frac{1}{2}\ |ad-bc|\ \ }\end{align*}}$
　　を使っています。
　　この公式を忘れていた受験生は、タイヘンだったでしょうね・・・・・