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【解答】

　(１)
　　　　x、yは、1＜x＜yを満たす自然数なので、x≧2、y≧3
　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+\frac{1}{y}\leqq\frac{4}{3}\end{align*}}$
　　　　これと与式より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{3}\left(1+\frac{1}{x}\right)\geqq\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)=\frac{5}{3}\end{align*}}$
　　　　　⇔　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+\frac{1}{x}\geqq\frac{5}{4}\end{align*}}$
　　　　　⇔　x≦4
　　　　　xは2以上の自然数なので、x＝2，3，4

　　　　① x=2のとき
　　　　　　与式　⇔　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\left(1+\frac{1}{y}\right)=\frac{5}{3}\ \Leftrightarrow\ y=9\end{align*}}$
　　　　② x=3のとき
　　　　　　与式　⇔　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{3}\left(1+\frac{1}{y}\right)=\frac{5}{3}\ \Leftrightarrow\ y=4\end{align*}}$
　　　　③ x=4のとき
　　　　　　与式　⇔　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{4}\left(1+\frac{1}{y}\right)=\frac{5}{3}\ \Leftrightarrow\ y=3\end{align*}}$
　　　　1＜x＜yより
　　　　　　　(x，y)＝(2，9)、(3，4)


　　(２)
　　　　x、y、zは、1＜x＜y＜zを満たす自然数なので、x≧2、y≧3、z≧4
　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+\frac{1}{y}\leqq\frac{4}{3}\ \ ,\ \ 1+\frac{1}{z}\leqq\frac{5}{4}\ldots\ldots(*)\end{align*}}$
　　　　これと与式より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{3}\cdot\frac{5}{4}\left(1+\frac{1}{x}\right)\geqq\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right)=\frac{12}{5}\end{align*}}$
　　　　　⇔　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+\frac{1}{x}\geqq\frac{36}{25}\end{align*}}$
　　　　　⇔　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x\leqq\frac{25}{11}\end{align*}}$
　　　　　xは2以上の自然数なので、x=2
　　
　　　　このとき、
　　　　　与式　⇔　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right)=\frac{12}{5}\end{align*}}$
　　　　　　　　⇔　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right)=\frac{8}{5}\end{align*}}$
　　　　これと(*)より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{4}\left(1+\frac{1}{y}\right)\geqq\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right)=\frac{8}{5}\end{align*}}$
　　　　　⇔　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+\frac{1}{y}\geqq\frac{32}{25}\end{align*}}$
　　　　　⇔　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\leqq\frac{25}{7}\end{align*}}$
　　　　yは3以上の自然数なので、y=3
　　　　よって、
　　　　　　与式　⇔　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\left(1+\frac{1}{z}\right)=\frac{12}{5}\ \Leftrightarrow\ z=5\end{align*}}$

　　　　以上より、(x，y，z)=(2，3，5)