ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$　　　イ 2　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\sqrt{5-m^2}}{\left|4-m^2\right|}\end{align*}}$ 　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{m}{4-m^2}\end{align*}}$　　　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{4-m^2}\end{align*}}$

　　カ 4　　　　キ －1　　　ク －4



【解説】

　　　　　直線y=ｍx+1をL 、双曲線4x²－y²=4をCとおく。

　　LとCの2式を連立させると、
　　　　　　　　　　4x²－(ｍx+1)²=4
　　　　　　　　⇔　(4－ｍ²)x²－2ｍx－5=0　････(A)
　　ｍ²=4のとき、(A)は二次方程式にならないので、
　　|ｍ|≠2であり、このとき(A)が異なる2つの実数解をもつためには、
　　判別式を考えると、
　　　　　　　　　　D/4=ｍ²+5(4－ｍ²)
　　　　　　　　　　　　 =20－4ｍ²＞0
　　　　　　　　⇔　|ｍ|＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$
　　であればよい。
　　このときの2解をx₁、x₂とすると、解と係数の関係より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_1+x_2=\frac{2m}{4-m^2}\ \ ,\ \ x_1\ x_2=-\frac{5}{4-m^2}\end{align*}}$　････②
　　また、2交点(A，Bとする)の座標は、
　　　　　　　　　　A(x₁，ｍx₁+1)、　B(x₂，ｍx₂+1)
　　となるので、△ＯABの面積Sは、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\left|x_1(mx_2+1)-x_2(mx_1+1)\right|=\frac{1}{2}\left|x_1-x_2\right|\end{align*}}$
　　で求めることができる。
　　ここで、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1\ x_2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{2m}{4-m^2}\right)^2-4\left(-\frac{5}{4-m^2}\right)\end{align*}}$　←②より
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{16(5-m^2)}{(4-m^2)^2}\end{align*}}$
　　なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S=\frac{2\sqrt{5-m^2}}{\left|4-m^2\right|}\ \ }\end{align*}}$ ．

　　また、ABの中点P($\scriptsize\sf{\alpha}$ ，$\scriptsize\sf{\beta}$ )の座標は、②より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{m}{4-m^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \beta=m\alpha+1=\frac{m^2}{4-m^2}+1=\frac{4}{4-m^2}\end{align*}}$
　　となる。
　　これより、$\scriptsize\sf{\beta}$ ≠0であり、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=\frac{m}{4}\ \beta\ \ \Leftrightarrow\ \ m=\frac{4\alpha}{\beta}\end{align*}}$ ．
　　これを、$\scriptsize\sf{\beta}$ =ｍ$\scriptsize\sf{\alpha}$ +1に代入すると、　　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \beta=\frac{4\alpha^2}{\beta}+1\ \ \Leftrightarrow\ \ 4\alpha^2-\beta^2+\beta=0\end{align*}}$
　　となり、これは点P($\scriptsize\sf{\alpha}$ ，$\scriptsize\sf{\beta}$ )が曲線4x²－y²+y=0上に
　　あることを表している。
　　また、|ｍ|＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$　かつ |ｍ|≠4なので、
　　　　　　　　　　0≦ｍ²＜4 、　4＜ｍ²＜5
　　　　　　　　⇔　0＜4－ｍ²≦4 、　－1＜4－ｍ²＜0
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \beta=\frac{4}{4-m^2}\geqq 1\ \ , \ \ \beta=\frac{4}{4-m^2}<-4\end{align*}}$
　　よって、Pは、y≧1 または y＜－4 の範囲を動く。


　　4－ｍ²の正負は決まらないので、Sの分母には絶対値が必要です。