⑦　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x<\frac{2+\sqrt2}{2}\end{align*}}$　　　　⑧　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2+\sqrt2}{2}\end{align*}}$　　　　⑨　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　⑩　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$


【解説】

　(4)
　　　まず、根号の中は0以上なので、
　　　　　　　　2x－x²=x（2－x）≧0　⇔　0≦x≦2
　　　左辺≧0なので、右辺が負のときは常に成り立つ。
　　　すなわち、x－1＜0　⇔　0≦x＜1のときは成り立つ。
　　　一方、
　　　x≧1のとき、両辺≧0となるので、両辺を2乗すると、
　　　　　　　　2x－x²＞x²－2x+1
　　　　　　⇔　2x²－4x+1＜0
　　　　　　⇔　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq x <\frac{2+\sqrt2}{2}\end{align*}}$
　　　以上より、求めるxの範囲は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 0\leqq x<\frac{2+\sqrt2}{2}\ \ }\end{align*}}$

　(5)
　　　導関数を求めると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=1+\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt{2x-x^2}+1-x}{\sqrt{2x-x^2}}\end{align*}}$ ．
　　　ここで(4)より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x<\frac{2+\sqrt2}{2}\end{align*}}$　のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{2x-x^2}>x-1\ \ \Leftrightarrow\ \ f\ '(x)>0\end{align*}}$
　　　であり、同様に考えると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{2+\sqrt2}{2}\end{align*}}$　のとき、ｆ’(x)=0
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x>\frac{2+\sqrt2}{2}\end{align*}}$　のとき、ｆ’(x)＜0
　　　よって、ｆ(x)が最大となるときのxの値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{2+\sqrt2}{2}\ \ }\end{align*}}$

　(6)
　　　⑨の極限をＬ₁とする。
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_1=\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{1-\cos\theta}{\theta^2}\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{1-\cos^2\theta}{\theta^2(1+\cos\theta)}\end{align*}}$　←分子･分母×(1+cos$\scriptsize\sf{\theta}$ )
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{\sin^2\theta}{\theta^2(1+\cos\theta)}\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{\theta\rightarrow 0}\left(\frac{\sin\theta}{\theta}\right)^2\cdot\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{1}{1+\cos\theta}\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1^2\cdot\frac{1}{1+1}\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$

　　　一方、⑩の極限をＬ₂とする。
　　　　　　　1－cos³$\scriptsize\sf{\theta}$ =(1－cos$\scriptsize\sf{\theta}$ )(1+cos$\scriptsize\sf{\theta}$ +cos²$\scriptsize\sf{\theta}$ )
　　　なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_2=\lim_{\theta\rightarrow 0}\left\{\frac{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta+\cos^2\theta)}{\theta^3}\ \tan\theta\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{1-\cos\theta}{\theta^2}\times\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{(1+\cos\theta+\cos^2\theta)\ \tan\theta}{\theta}\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =L_1\times\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{\sin\theta}{\theta}\cdot\frac{1+\cos\theta+\cos^2\theta}{\cos\theta}\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\times1\times\frac{1+1+1}{1}\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3}{2}\ \ }\end{align*}}$



　　(4)は、条件が多いのでうまく整理してください。
　　いきなり両辺を2乗したらダメですよ！！！