①　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　②　1　　　　③　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\end{align*}}$　　　　④　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{16}\end{align*}}$

　　⑤　1　　　　⑥　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 1&\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$　　　⑦　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf -1&\sf 1\\ \sf -1 &\sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$　　　⑧　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\sqrt3\ ,\ \frac{1+\sqrt3}{2}\right)\end{align*}}$


【解説】

　　　(1，0)、(1，1)、(0，1)のｆによる像はそれぞれ
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf t-1&\sf -t\\ \sf t&\sf t-2\end{pmatrix}\binom{1}{0}=\binom{t-1}{t}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix}\sf t-1&\sf -t\\ \sf t&\sf t-2\end{pmatrix}\binom{1}{1}=\binom{-1}{2t-2}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf t-1 &\sf -t\\ \sf t&\sf t-2\end{pmatrix}\binom{0}{1}=\binom{-t}{t-2}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　A(ｔ－1，ｔ)、　B(－1，2ｔ－2)、　C(－ｔ，ｔ－2)　　　

　(1)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\bot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ より、内積を考えると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=-(t-1)+t(2t-2)=0\end{align*}}$　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (t-1)(2t-1)=0\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=\underline{\ \frac{1}{2}\ \ ,\ \ 1\ \ }\end{align*}}$

　(2)
　　　△ABCの面積Sは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=(-t\ ,\ t-2)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AC}=(-2t+1\ ,\ -2)\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\left|(-t)\cdot(-2)-(t-2)(-2t+1)\right|\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|t^2-\frac{3}{2}t+1\right|\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\left(t-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{7}{16}\right|\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(t-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{7}{16}\end{align*}}$
　　　よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S_{min}=\frac{7}{16}\ \ \ \left(t=\frac{3}{4}\right)\ \ }\end{align*}}$

　(3)(ⅰ)
　　　ハミルトン・ケーリーの定理より、
　　　　　　　　Ｍ²－(2ｔ－3)Ｍ+{(ｔ－1)(ｔ－2)+ｔ²}E=Ｏ
　　　　　　⇔　Ｍ²=(2ｔ－3)Ｍ－(2ｔ²－3ｔ+2)E
　　　これと、Ｍ²+Ｍ+E=Ｏより、
　　　　　　　　(2ｔ－3)Ｍ－(2ｔ²－3ｔ+2)E+Ｍ+E=Ｏ
　　　　　　⇔　2(ｔ－1)Ｍ=－(2ｔ²－3ｔ+1)E
　　　　　　　　　　　　　　 =－(ｔ－1)(2ｔ－1)E
　　　ｔ≠1のときは、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M=-\frac{2t-1}{2}\ E\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix} \sf t-1&\sf -t \\ \sf t & \sf t-2 \end{pmatrix}=-\frac{2t-1}{2}\ \begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　となるが、(1，1)成分と(2，2)成分において、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t-1=t-2=-\frac{2t-1}{2}\end{align*}}$
　　　を満たすようなｔは存在しないので不適。
　　　よって、 ｔ=1

　　　一方、Ｍ²=－Ｍ－Eなので、
　　　　　　　Ｍ³=Ｍ(－Ｍ－E)
　　　　　　　　　=－Ｍ²－Ｍ
　　　　　　　　　=－(－Ｍ－E)－Ｍ
　　　　　　　　　= E
　　　よって、
　　　　　　　Ｍ²⁰¹²=Ｍ^3･670+2
　　　　　　　　　　　=E⁶⁷⁰・Ｍ²
　　　　　　　　　　　=Ｍ² ．
　　　ここで、ｔ=1なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M=\begin{pmatrix}\sf 0 &\sf -1\\ \sf 1 &\sf -1\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M^2=-M-E=\begin{pmatrix}\sf 0 &\sf 1\\ \sf -1&\sf 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\sf 1&\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf -1 &\sf 1\\ \sf -1 &\sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M^{2012}=\underline{\ \begin{pmatrix}\sf -1 &\sf 1\\ \sf -1&\sf 0\end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$

　(3)(ⅱ)
　　　ｔ=1のとき、C(－1，－1)であり、
　　　この点を原点中心に－60°回転させると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf \cos(-60^{\circ})&\sf -\sin(-60^{\circ}) \\ \sf \sin(-60^{\circ}) & \sf \cos(-60^{\circ}) \end{pmatrix}\binom{-1}{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf \sqrt3 \\ \sf -\sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}\binom{-1}{-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\binom{-1-\sqrt3}{\sqrt3 -1}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R\left(\frac{-1-\sqrt3}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3 -1}{2}\right)\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\overrightarrow{\sf OR}=\left(\frac{-1-\sqrt3}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3 -1}{2}\right)\end{align*}}$ ．
　　　ここで、QはPをｇの逆変換によって移される点なので、
　　　QはｇによってPに移される。
　　　よって、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf -1&\sf 1 \\ \sf -1 & \sf 0 \end{pmatrix}\binom{-1-\sqrt3}{\sqrt3 -1}=\frac{1}{2}\binom{2\sqrt3}{1+\sqrt3}\end{align*}}$
　　　となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\underline{\ \left(\sqrt3\ ,\ \frac{1+\sqrt3}{2}\right)\ \ }\end{align*}}$



　　(2)で使った面積の公式、大丈夫ですか？？