①　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{8}\end{align*}}$　　　　②　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{11}{16}\end{align*}}$　　　　③　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$　　　　④　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\end{align*}}$

　　⑤　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\right\}\end{align*}}$　　　⑥　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{9}\cdot4^n-\frac{2}{3}\ n-\frac{2}{9}\end{align*}}$　

　　⑦　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{16}{9}-\frac{1}{9}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-2}-\frac{n}{3}\ \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\end{align*}}$


【解説】

　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{1}{2}\ a_n+\frac{1}{2}\ b_n\end{align*}}$　････(ア)　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}=\frac{1}{4}\ a_n+\frac{3}{4}\ b_n\end{align*}}$　････(イ)

　(1)
　　　(ア)、(イ)に順次代入していくと、　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\frac{1}{2}\ a_1+\frac{1}{2}\ b_1=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ b_2=\frac{1}{4}\ a_1+\frac{3}{4}\ b_1=\frac{3}{4}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_3=\frac{1}{2}\ a_2+\frac{1}{2}\ b_2=\underline{\ \frac{5}{8}\ \ }\ \ ,\ \ b_3=\frac{1}{4}\ a_2+\frac{3}{4}\ b_2=\underline{\ \frac{11}{16}\ \ }\end{align*}}$

　(2)
　　　(ア)と(イ)の差をとると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}-a_{n+1}=\underline{\ \frac{1}{4}\left(b_n-a_n\right)\ \ }\end{align*}}$
　　　数列{b_n－a_n}は、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ 、初項 b₁－a₁=1の等比数列に
　　　なるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n-a_n=\underline{\ \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\ \ }\end{align*}}$

　(3)
　　　(2)の④を(ア)に代入すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{1}{2}\ a_n+\frac{1}{2}\left\{a_n+\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\right\}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\end{align*}}$
　　　右辺は、数列{a_n}の階差数列になっているので、
　　　ｎ≧2のとき、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=a_1+\sum_{k-1}^{n-1}\ \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{k-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0+\frac{1}{2}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}}{1-\frac{1}{4}}\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\right\}\ \ }\end{align*}}$　（ｎ=1のときも満たす）

　(4)
　　　(3)の⑤を代入すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ 4^{k-1}\ a_k=\frac{2}{3}\sum_{k=1}^n\ 4^{k-1}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{k-1}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\sum_{k=1}^n\ \left(4^{k-1}-1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\cdot\frac{4^n-1}{4-1}-\frac{2}{3}\ n\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{9}\cdot4^n-\frac{2}{3}\ n-\frac{2}{9}\ \ }\end{align*}}$

　　次に、⑦の和をSとおき、(2)の④を代入すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\sum_{k=1}^n\ k\ (b_k-a_k)=\sum_{k=1}^n\ k\left(\frac{1}{4}\right)^{k-1}\end{align*}}$
　　となるので、Sおよび $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ Sは、
　　　　　
　　となるので、これら2式の差をとると、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\ S=1+\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^3+\ldots +\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}-n\left(\frac{1}{4}\right)^n\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n}}{1-\frac{1}{4}}-n\ \left(\frac{1}{4}\right)^{n}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\right\}-n\ \left(\frac{1}{4}\right)^{n}\end{align*}}$
　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{16}{9}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\right\}-\frac{4n}{3}\ \left(\frac{1}{4}\right)^{n}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{16}{9}-\frac{1}{9}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-2}-\frac{n}{3}\ \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\ \ }\end{align*}}$



　　(4)の後半が少し難しいでしょうが、この解法は有名ですよね。