2012関西大 理系数学（2月5日） １

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【解答】

　(1)
　　　C、ｍの2式を連立させると、　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{3}+\frac{(-x+k)^2}{5}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ 5x^2+3(x^2-2kx+k^2)=15\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 8x^2-6kx+3k^2-15=0\end{align*}}$　････①
　　　これが、実数解をもてばよいので、判別式を考えると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=9k^2-8(3k^2-15)\geqq 0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 15k^2-120\leqq 0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ -2\sqrt2\leqq k\leqq 2\sqrt2\ \ }\end{align*}}$

　(2)
　　　2焦点(0，$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pm\sqrt2\end{align*}}$ )からｍ：x+y－ｋ=0までの距離はそれぞれ
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left|\ 0+\sqrt2+k\ \right|}{\sqrt{1^2+1^2}}\ \ ,\ \ \frac{\left|\ 0-\sqrt2+k\ \right|}{\sqrt{1^2+1^2}}\end{align*}}$
　　　なので、これらの和Ｌは、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\frac{\left|\ k+\sqrt2\ \right|}{\sqrt2}+\frac{\left|\ k-\sqrt2\ \right|}{\sqrt2}\end{align*}}$
　　　よって、
　　　(1)の範囲においてｋの値で場合分けをすると、

　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ -2\sqrt2\leqq k<-\sqrt2\end{align*}}$　のとき、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\frac{-(k+\sqrt2)}{\sqrt2}+\frac{-(k-\sqrt2)}{\sqrt2}=-\sqrt 2\ k\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ -\sqrt2\leqq k<\sqrt2\end{align*}}$　のとき、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\frac{k+\sqrt2}{\sqrt2}+\frac{-(k-\sqrt2)}{\sqrt2}=2\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iii)\ \ \sqrt2\leqq k<2\sqrt2\end{align*}}$　のとき、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\frac{k+\sqrt2}{\sqrt2}+\frac{k-\sqrt2}{\sqrt2}=\sqrt 2\ k\end{align*}}$
　　　これらを図示したものが右図である。

　(3)
　　　(1)より、ｋの最大値は、ｋ=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt2\end{align*}}$ であり、このときｍは、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m:\ y=-x+2\sqrt2\end{align*}}$　・
　　　また、①は
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 8x^2-12\sqrt2\ x+9=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{3}{2\sqrt2}\end{align*}}$
　　　となるので、Cとｍの交点の座標は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3}{2\sqrt2}\ ,\ \frac{5}{2\sqrt2}\right)\end{align*}}$　．
　　　よって、図形Dは右図の水色部分になり、
　　　回転体の体積Vは、
　　　　　(赤色の円錐)－(緑色部分の回転体)
　　　として求めることができるので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\pi\cdot\left(\frac{5}{2\sqrt2}\right)^2\cdot\left(2\sqrt2-\frac{3}{2\sqrt2}\right)-\pi\int_{\frac{3}{2\sqrt2}}^{\sqrt3}\ \left(5-\frac{5x^2}{3}\right)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{125}{96}\sqrt2\ \pi-\pi\left[5x-\frac{5}{9}x^3\right]_{\frac{3}{2\sqrt2}}^{\sqrt3}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{125}{96}\sqrt2\ \pi-\left(5\sqrt3-\frac{5\sqrt3}{3}\right)\pi+\left(\frac{15}{2\sqrt2}-\frac{15}{16\sqrt2}\right)\pi\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ =\left(\frac{55\sqrt2}{12}-\frac{10\sqrt3}{3}\right)\ \pi\ \ }\end{align*}}$



　　(2)で絶対値に気をつけましょう。当然、中身の符号で場合分けです。