－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　今年の京大文系の中でこの問題だけは少し難しい感じですね。
　　この問題の出来で合否が決まったのではないでしょうか。



　　(１)
　　　　各桁の数が１または２であるｎ桁の整数は全部で２ⁿ個ある。
　　　　そのうちで、
　　　　・１の位の数が１であるものと２であるものが、
　　　　　それぞれ２^n-1個ずつあるので、１の位の数の総和は、
　　　　　　　１×２^n-1＋２×２^n-1＝３×２^n-1

　　　　・10の位の数が１であるものと２であるものが、
　　　　　それぞれ２^n-1個ずつあるので、10の位の数の総和は、
　　　　　　　10×２^n-1＋20×２^n-1＝30×２^n-1

　　　　・100の位の数が１であるものと２であるものが、
　　　　　それぞれ２^n-1個ずつあるので、100の位の数の総和は、
　　　　　　　100×２^n-1＋200×２^n-1＝300×２^n-1
　　　　　　

　　　　・10^n-1の位の数が１であるものと２であるものが、
　　　　　それぞれ２^n-1個ずつあるので、10^n-1の位の数の総和は、
　　　　　　　3×10^n-1×２^n-1

　　　これらは、初項３×２^n-1、公比10、項数ｎの等比数列を
　　　なしているので、その和Ｔ_nは、
　　　　　　
　 　　　　　　


　　(２)
　　　　ｍ桁の数(ｍ＜ｎ)は、上位の桁に０をｎ－ｍ個並べることによって
　　　　ｎ桁の数と見なすことにする。たとえば、３桁の数123は、前に0を
　　　　ｎ－３個並べて0000･･･000132とすると、便宜上ｎ桁の数と
　　　　考えることができる。

　　　　各桁の数が０、１、２のいずれかであるｎ桁以下の整数は
　　　　全部で３ⁿ個ある。
　　　　(１)と同様に考えると、
　　　　10^kの位の数が(ｋ＝０、１，２，・・・、ｎ－１)、
　　　　　　０のものが３^k-1個
　　　　　　１のものが３^k-1個
　　　　　　２のものが３^k-1個あるので、
　　　　10^kの位の数の総和は、
　　　　　　０×３^k-1＋１×３^k-1＋２×３^k-1＝３×３^k-1

　　　　よって、３ⁿ個すべての総和Ｓ_nは、
　　　　　　
　 　　　　　　

　　　　Ｓ_n≧15Ｔ_nなので、
　 　　　　　　
　 　　　　
　 　　　　

　　　　両辺＞０なので、常用対数をとると、
　 　　　 　　　
　 　　　　

　　　　ここで、
　　　　0.301＜log₁₀２＜0.302と0.477＜log₁₀３＜0.478より、
　　　　　　　　　0.175＜log₁₀３－log₁₀２＜0.177
　 　　　　

　　　　これと(*)より、題意を満たす自然数ｎは８以上である。



　　(１)ができれば、(２)でＳ_nを求めるところまでは大丈夫でしょう。
　　最後の対数計算が難しいかもしれませんね。