① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{4}+y^2\end{align*}}$　　　　　　　　② 1　　　　　　　　③ －3≦a≦5
　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{-1+2\sqrt{10}}{3}\end{align*}}$　　　　　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3+\sqrt{10}\end{align*}}$　　　　　⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{8\sqrt{10}+4}{13}\end{align*}}$　　　　　



【解説】

　(1)
　　　曲線C₁は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+4y^2-2x-3=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{(x-1)^2}{4}+y^2=1\end{align*}}$
　　　と変形できるので、C₁は楕円
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{4}+y^2=1\end{align*}}$
　　　をx軸方向に+1だけ平行移動したものである。

　(2)
　　　(1)より、C₁は、下の図のようになる。
　　　また、C₂は、中心(a，0)、半径2の円を表すので、
　　　これらが共有点をもつための条件は、
　　　　　　　　　　－3≦a≦5
　　　である。
　　　　　　　



　(3)
　　　a=0のとき、C₂は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+y^2=4\end{align*}}$
　　　であり、これをC₁の式に代入すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+4(4-x^2)-2x-3=0\ \ \Leftrightarrow\ \ y^2=4-x^2\end{align*}}$　････(ア)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3x^2+2x-13=0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{-1\pm2\sqrt{10}}{3}\end{align*}}$
　　　ここで、(ア)より、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y^2=4-x^2\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ -2\leqq x\leqq 2\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{-1+2\sqrt{10}}{3}\end{align*}}$ ．
　　　この値をsとおき、点Pのy座標をｔとおく。


　　　曲線C₁の点P(s，ｔ)における接線の方程式は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{(s-1)(x-1)}{4}+ty=4\end{align*}}$
　　　であり、これとx軸との交点は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{(s-1)(x-1)}{4}=4\ \ \Leftrightarrow\ \ x=1+\frac{4}{s-1}\end{align*}}$ ．
　　　これに
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{-1+2\sqrt{10}}{3}\end{align*}}$　････(イ)
　　　を代入して整理すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=3+\sqrt{10}\ \ }\end{align*}}$


　　　一方、曲線C₂の点P(s，ｔ)における接線の方程式は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf sx+ty=4\end{align*}}$
　　　であり、これとx軸との交点は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf sx=4\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{4}{s}\end{align*}}$ ．
　　　これに(イ)を代入して整理すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{8\sqrt{10}+4}{13}\ \ }\end{align*}}$


　　(2)は、計算だけでやろうとすると面倒です。
　　図で考えましょう！