(1)


　　弧PQに対応する中心角を$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、
　　中心角は弧の長さに比例するので、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta=2\pi \times \frac{L}{2\pi t}=\frac{L}{t}\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u(t)=t \cos \theta=\underline{t \cos \frac{L}{t}}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf v(t)=t \sin \theta=\underline{t \sin \frac{L}{t}}\end{align*}}$


（2）
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u'(t)=\cos \frac{L}{t} + \frac{L}{t} \sin \frac{L}{t} \end{align*}}$ より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{u'(t)\right\}^2 =\cos^2 \frac{L}{t} + 2\frac{L}{t} \sin \frac{L}{t} \cos \frac{L}{t} +\frac{L^2}{t^2}\sin^2 \frac{L}{t}\end{align*}}$

　 　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf v'(t)= \sin \frac{L}{t}-\frac{L}{t}\cos\frac{L}{t}\end{align*}}$ より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{ v'(t) \right\}^2=\sin^2 \frac{L}{t} - 2\frac{L}{t} \sin \frac{L}{t} \cos \frac{L}{t} + \frac{L^2}{t^2}\cos^2 \frac{L}{t}\end{align*}}$

　　これらの和は、
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{u'(t)\right\}^2 + \left\{ v'(t) \right\}^2=1+\frac{L^2}{t^2}\end{align*}}$
　
　　よって、
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(a)=\int_{a}^{1} \sqrt{\left\{ u\ '(t)\right\}^2 + \left\{ v '(t) \right\}^2}\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{a}^{1} \sqrt{1 +\frac{L^2}{t^2}}dt\end{align*}}$　

　　ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=L\tan t\end{align*}}$ と置換すると　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{d \theta}=\frac{L}{\cos^2 \theta}\end{align*}}$　
　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=L\tan \alpha \ \ {,}\ \ 1=L\tan \beta\end{align*}}$　とおく。ただし、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\alpha<\frac{\pi}{2}\ {,}\ 0<\beta<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$　……①

　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(a)=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{1 %2b \frac{1}{\tan^2 \theta}}\cdot \frac{L}{\cos^2\theta}d\theta\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{\alpha}^{\beta} \frac{L}{\sin \theta\ \cos^2\theta}d\theta\end{align*}}$　（∵ ①より$\scriptsize\sf{0\lt \sin\theta}$ 　）

　　さらに、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\cos \theta\end{align*}}$ と置換すると　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{ds}{d \theta}=-\sin \theta\end{align*}}$　なので、

　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(a)=L\int_{\cos \alpha}^{\cos \beta} \frac{1}{\sin \theta}\cdot\frac{1}{s^2}\cdot \frac{ds}{-\sin\theta}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-L\int_{\cos \alpha}^{\cos \beta} \frac{1}{s^2(1-s^2)}ds\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-L\int_{\cos \alpha}^{\cos \beta} \left(\frac{1}{s^2}+\frac{1}{1-s^2}\right)ds\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-L\int_{\cos \alpha}^{\cos \beta} \left\{\frac{1}{s^2}+ \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1-s}+\frac{1}{1%2bs}\right)\right\}ds\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-L\left[ -\frac{1}{s}-\frac{1}{2}\log \left|\frac{1-s}{1%2bs} \right| \right]_{\cos \alpha}^{\cos \beta}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{L}{\cos\beta}-\frac{L}{\cos\alpha}+\frac{1}{2}\log \left|\frac{1-\cos\beta}{1+\cos\beta}\right|-\frac{1}{2}\log \left|\frac{1-\cos\alpha}{1%2b\cos\alpha}\right| \end{align*}}$

　　　ところで、① と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=L\tan \alpha\end{align*}}$ より　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\alpha=+\sqrt{\frac{1}{1+ \tan^2\alpha}}=\frac{L^2}{\sqrt{L^2%2ba^2}}\end{align*}}$
　　　同様に
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\beta=\frac{L^2}{\sqrt{L^2+1}}\end{align*}}$

　　これらを代入して整理すると、
　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(a)=\sqrt{L^2+1}-\sqrt{L^2+a}+\frac{L}{2}\log\frac{\left| 1-\frac{L}{\sqrt{L^2+1}} \right| \left| 1+\frac{L}{\sqrt{L^2+a^2}} \right|}{\left| 1+\frac{L}{\sqrt{L^2+1}} \right| \left| 1-\frac{L}{\sqrt{L^2+a^2}} \right|}\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{L^2+1}-\sqrt{L^2+a}+\frac{L}{2}\log\frac{\left( \sqrt{L^2+1}-1 \right) \left( \sqrt{L^2+a^2}+L \right)}{\left( \sqrt{L^2+1}+L \right) \left( \sqrt{L^2+a^2}-L \right)}\end{align*}}$

　　　真数の分母を有理化しておくと、
　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{f(a)=\sqrt{L^2+1}-\sqrt{L^2+a}+L\log\left\{\left( \sqrt{L^2+1}-1 \right) \left( \sqrt{L^2+a^2}+L \right)\right\}-L\log{a}}\end{align*}}$


(3)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a \rightarrow +0} {\log a}=-\infty\end{align*}}$なので、

　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a \to +0} \frac{\sqrt{L^2+1}}{\log a}=0\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a \to +0} \frac{\sqrt{L^2+a}}{\log a}=0\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a \to +0} \frac{L\log{\left( \sqrt{L^2+1}-1 \right) \left( \sqrt{L^2+a^2}+L \right)}}{\log a}=0\end{align*}}$
　　よって、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a \to +0} \frac{f(a)}{\log a}=\underline{-L}\end{align*}}$


　　(2)で式をキレイな状態に整理しておけば、(3)は楽勝！！