2008奈良女子大 前期 数学５

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【解答】

　(1)
　　　(ⅰ)
　　　　　a≠bより、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}=\frac{\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2}{2}>0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}\end{align*}}$　････①
　　　　　a＜bより
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b-\frac{a+b}{2}=\frac{2b-(a+b)}{2}=\frac{b-a}{2}>0\end{align*}}$　．
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a+b}{2}\lt b\end{align*}}$
　　　　　以上より、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}\lt b\end{align*}}$

　　　(ⅱ)
　　　　　①の両辺は正なので、逆数をとると、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{a+b}<\frac{1}{\sqrt{ab}}\end{align*}}$
　　　　　であり、両辺にab（＞0）をかけると、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}\end{align*}}$　．
　　　　　また、a＜bより、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2ab}{a+b}-a=\frac{2ab-a(a+b)}{2}=\frac{a(b-a)}{2}>0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a<\frac{2ab}{a+b}\end{align*}}$　．
　　　　　以上より、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a<\frac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}\end{align*}}$

　(2)
　　　(1)より、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a<\sqrt {ab}\lt b\end{align*}}$　････②
　　　
　　　(ⅰ)
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{1221}{116}\ \ ,\ \ b=\frac{116}{11}\end{align*}}$
　　　　　とおくと、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ab=\frac{1221}{116}\cdot\frac{116}{11}=111\end{align*}}$
　　　　　となるので、②より
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1221}{116}<\sqrt{111}<\frac{116}{11}\end{align*}}$　．

　　　(ⅱ)
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{283272}{26887}\ \ ,\ \ b=\frac{26887}{2552}\end{align*}}$
　　　　　とおくと、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ab=\frac{283272}{26887}\cdot\frac{26887}{2552}=111\end{align*}}$
　　　　　となるので、②より、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{283272}{26887}<\sqrt{111}<\frac{26887}{2552}\end{align*}}$　．



　　(2)で同じ問題が2連発ですが、出題意図がよく分かりませんな。。。