2008奈良女子大 前期 数学２

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【解答】

　(1)
　　　ＭはABの中点、Ｎは△CDEの重心なので、　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}=\frac{\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}}{2}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf ON}=\frac{\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OD}+\overrightarrow{\sf OE}}{3}\end{align*}}$ ．
　　　GはＭＮを3：2に内分する点なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\frac{2\overrightarrow{\sf OM}+3\overrightarrow{\sf ON}}{5}\overrightarrow{\sf }\overrightarrow{\sf }\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\cdot\frac{\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}}{2}+3\cdot\frac{\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OD}+\overrightarrow{\sf OE}}{3}}{5}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OD}+\overrightarrow{\sf OE}}{5}\end{align*}}$

　(2)
　　　(1)の等式において、ベクトルの始点をPに変えると、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PG}-\overrightarrow{\sf PO}=\frac{\left(\overrightarrow{\sf PA}-\overrightarrow{\sf PO}\right)+\left(\overrightarrow{\sf PB}-\overrightarrow{\sf PO}\right)+\left(\overrightarrow{\sf PC}-\overrightarrow{\sf PO}\right)+\left(\overrightarrow{\sf PD}-\overrightarrow{\sf PO}\right)+\left(\overrightarrow{\sf PE}-\overrightarrow{\sf PO}\right)}{5}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\overrightarrow{\sf PA}+\overrightarrow{\sf PB}+\overrightarrow{\sf PC}+\overrightarrow{\sf PD}+\overrightarrow{\sf PE}}{5}-\overrightarrow{\sf PO}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf PG}=\frac{\overrightarrow{\sf PA}+\overrightarrow{\sf PB}+\overrightarrow{\sf PC}+\overrightarrow{\sf PD}+\overrightarrow{\sf PE}}{5}\end{align*}}$

　(3)
　　　(2)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\ \overrightarrow{\sf PA}+\overrightarrow{\sf PB}+\overrightarrow{\sf PC}+\overrightarrow{\sf PD}+\overrightarrow{\sf PE}\ \right|=\left|\ 5\overrightarrow{\sf PG}\ \right|=r\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\ \overrightarrow{\sf PG}\ |=\frac{r}{5}\end{align*}}$ ．
　　　これより、
　　　点Pは、Gを中心とする半径 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{r}{5}\end{align*}}$ の円周上を動く。




　　基本的な問題なので確実に。