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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012大阪市立大 理系数学4



第4問

  |a2-2b2|=1を満たす整数a、bによって、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a&\sf 2b\\ \sf b&\sf a\end{pmatrix}\end{align*}}$
  と表される2次の正方行列全体の集合をUとする。このとき、
  Uに属する行列
          $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf 2b\\ \sf b &\sf a\end{pmatrix}\end{align*}}$
  に対して、f(A)=a+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ bとおく。次の問いに答えよ。


 (1) 二つの行列AとBがUに属するならば、積ABもUに属することを示し、
    さらに f(AB)=f(A)f(B)が成り立つことを示せ。

 (2) Uに属する行列
          $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf 2b\\ \sf b &\sf a\end{pmatrix}\end{align*}}$
    について、f(A)≧1ならば、$\small\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq a-\sqrt2\ b\leqq 1\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。

 (3) Uに属する行列Aについて、$\small\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq f(A)\lt 1+ \sqrt2\end{align*}}$ ならば、
          $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 1 &0\\ 0 &1\end{pmatrix}\end{align*}}$
    であることを示せ。

 (4) Uに属する行列Aについて、$\small\sf{\begin{align*} \sf 1+\sqrt2\leqq f(A)\lt (1+\sqrt2)^2\end{align*}}$ ) ならば、
          $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 1 &2\\ 1 &1\end{pmatrix}\end{align*}}$
    であることを示せ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2012/06/30(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2012
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