=x－[x]
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{1}=\langle \sqrt2 \rangle\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt2-[\sqrt2]\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt2-1\end{align*}}$
　　　　　　
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{2}=\langle \frac{1}{\sqrt2-1} \rangle\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\langle\sqrt2 + 1 \rangle\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt2 +1-[\sqrt2 +1]\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} =\sqrt2-1\ \ \ \ \left(\because[\sqrt2 +1]=2 \right)\end{align*}}$

　　以下も同様に、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{3}=\sqrt2-1\end{align*}}$　、　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{4}=\sqrt2-1\end{align*}}$　、……
　　よって、すべての自然数ｎに対して、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n}=\sqrt2-1\end{align*}}$


（2）
　　　a₁= より、0≦a＜1
　　　これと仮定より
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3} \leqq a<1\end{align*}}$ ……①
　　　よって、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1< \frac{1}{a} \leqq 3\end{align*}}$

　　　a_n=a_n+1=a より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n + 1}=\langle \frac{1}{a_n} \rangle\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = \langle\frac{1}{a} \rangle\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = \frac{1}{a}-\left[ \frac{1}{a} \right] =a\end{align*}}$･･････(※)


　　(ⅰ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{1}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{a}=3\end{align*}}$ のとき、
　　　　a₂=0となるので不適


　　(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\lt a\leqq\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \left[\frac{1}{a}\right]=2\end{align*}}$ のとき、
　　　　(※)は下式のようになる。
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}-2 =a\end{align*}}$
　　　　となり、これを①の範囲で解くと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=-1 + \sqrt2\end{align*}}$

　　(ⅲ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\lt a<1\ \ \Leftrightarrow\ \ \left[\frac{1}{a}\right]=1\end{align*}}$ のとき、
　　　　(※)は下式のようになる。
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}-1 =a\end{align*}}$
　　　　 これを ①の範囲で解くと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{-1+\sqrt5}{2}\end{align*}}$

　　　　以上より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{a=\frac{-1 +\sqrt5}{2}\ ,\ -1+\sqrt2}\end{align*}}$


（3）
　　a=0のときは自明なので、以下はa≠0とする。

　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{p_n}{q_n}\end{align*}}$
　　とおく。（ただし、 p_nは0以上の整数、q_nは自然数）
　　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{1}=\langle \frac{p}{q} \rangle\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{p}{q}-\left[ \frac{p}{q} \right]\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{p_1}{q_1}\end{align*}}$

　　　q₁=q かつp₁＜q₁なので、p₁＜q


　　　ここで、p_q≠0と仮定すると、1≦ｎ≦qのｎに対してp_n≧1 ……(※)
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\langle \frac{1}{a_n} \rangle\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\langle\ \frac{q_n}{p_n} \rangle\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{q_n}{p_n}-\left[\frac{q_n}{p_n}\right]=\frac{p_{n +1}}{q_{n+1}}\end{align*}}$

　　　q_n+1=p_nかつp_n+1＜q_n+1なので、p_n+1＜p_n
　　　すなわち、p_n+1≦p_n－1

　　以上より、
　　　　p₁＜q
　　　　p₂≦p₁－1
　　　　p₃≦p₂－1
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
　　　　p_q≦p_q-1－1

　　　これらを辺々加えると、
　　　　p_q＜q－(q－1)=1 　← 不等式に等号がつかない！
　　　これは、(※)に矛盾するので、p_q=0


　　　よって、q以上のすべての自然数ｎに対して、a_n=0である。



　　理系と共通問題です。