2012九州大 文系数学４

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【解答】

　　　ｋ回目（ｋ＝０，１，２，･･･）の試行Ｔの後、箱Ａにｎ個（ｎ＝１，２，３）の
　　　黒玉が入っている状況をＳ(ｋ，ｎ)、その確率をＸ(ｋ，ｎ)と表すことにすると、
　　　　　Ｘ(０，１)＝Ｘ(０，２)＝０ 、　　Ｘ(０，３)＝１　････①

　　　また、１回の試行Ｔにおいて、箱Ａから箱Ｂに入れた途中段階では、
　　　箱Ａに白玉１個が残っている状態(Ⅰとする）または、黒玉が１個残って
　　　いる状態(Ⅱとする)のいずれかである。
　　　ｋ回目試行の途中で状態Ⅰ、Ⅱになる確率をそれぞれ、Ｙ(ｋ，１)、Ｙ(ｋ、２)
　　　とおく。
　　　
　　　Ｓ(ｋ，ｎ)から途中段階ⅠまたはⅡを経てＳ(ｋ＋１，ｎ)になる過程、
　　　およびその確率を表したものが下の図である。
　　　例えば、Ｓ(ｋ，１)からⅠになるためには、白黒１個ずつ移動すればよいので、
　　　その確率は、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_2C_1\cdot_1C_1}{_3C_2}=\frac{2}{3}\end{align*}}$　となる。
　　　よって、

　　　　　

　　　これより、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y(k,1)=\frac{2}{3}\ X(k,1)+\frac{1}{3}\ X(k,2)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y(k,2)=\frac{1}{3}\ X(k,1)+\frac{2}{3}\ X(k,2)+X(k,3)\end{align*}}$
　　　となり、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X(k+1,1)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\ Y(k,1)+\frac{1}{6}\ Y(k,2)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\ X(k,1)+\frac{1}{3}\ X(k,2)\right)+\frac{1}{6}\left(\frac{1}{3}\ X(k,1)+\frac{2}{3}\ X(k,2)+X(k,3)\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{7}{18}\ X(k,1)+\frac{5}{18}\ X(k,2)+\frac{1}{6}\ X(k,3)\end{align*}}$
　　　他も同様に計算すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X(k+1,2)=\frac{5}{9}\ X(k,1)+\frac{11}{18}\ X(k,2)+\frac{2}{3}\ X(k,3)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X(k+1,3)=\frac{1}{18}\ X(k,1)+\frac{1}{9}\ X(k,2)+\frac{1}{6}\ X(k,3)\end{align*}}$


　(１)
　　　求める確率は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_1=X(1,1)=\frac{7}{18}\ X(0,1)+\frac{5}{18}\ X(0,2)+\frac{1}{6}\ X(0,3)\end{align*}}$　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_2=X(1,2)=\frac{5}{9}\ X(0,1)+\frac{11}{18}\ X(0,2)+\frac{2}{3}\ X(0,3)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_3=X(1,3)=\frac{1}{18}\ X(0,1)+\frac{1}{9}\ X(0,2)+\frac{1}{6}\ X(0,3)\end{align*}}$
　　　であり、これらに①を代入して計算すると、
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_1=\frac{1}{6}\ \ ,\ \ p_2=\frac{2}{3}\ \ ,\ \ p_3=\frac{1}{6}\ \ }\end{align*}}$　

　(２)
　　　求める確率は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_1=X(2,1)=\frac{7}{18}\ X(1,1)+\frac{5}{18}\ X(1,2)+\frac{1}{6}\ X(1,3)\end{align*}}$　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_2=X(2,2)=\frac{5}{9}\ X(1,1)+\frac{11}{18}\ X(1,2)+\frac{2}{3}\ X(1,3)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_3=X(2,3)=\frac{1}{18}\ X(1,1)+\frac{1}{9}\ X(1,2)+\frac{1}{6}\ X(1,3)\end{align*}}$
　　　であり、これらに(１)を代入して計算すると、
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ q_1=\frac{5}{18}\ \ ,\ \ q_2=\frac{11}{18}\ \ ,\ \ q_3=\frac{1}{9}\ \ }\end{align*}}$　

　(３)
　　　求める確率は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X(3,1)=\frac{7}{18}\ X(2,1)+\frac{5}{18}\ X(2,2)+\frac{1}{6}\ X(2,3)\end{align*}}$　
　　　であり、これらに(２)を代入して計算すると、
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ X(3,1)=\frac{11}{108}\ \ }\end{align*}}$　



　　文型でこれは厳しいでしょうね＾＾；；