2012九州大 文系数学１

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【解答】

　(１)
　　　Ｂを始点とするベクトルを考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BA}=(1,0,-2)\ \ ,\ \ \ \overrightarrow{\sf BC}=(-2,1,1)\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BA}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=|\overrightarrow{\sf BA}||\overrightarrow{\sf BC}|\cos\angle B=-2+0-2=-4<0\end{align*}}$．
　　　cos∠Ｂ＜０となるので、∠Ｂは $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ より大きい。


　(２)
　　　Ｈの座標をＨ(Ｘ，Ｙ，Ｚ)とおくと、ＨはＢＣ上にあるので、実数ｋを用いて、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BH}=k\overrightarrow{\sf BC}\ \ \Leftrightarrow\ \ (X,Y,Z-2)=k(-2,1,1)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (X,Y,Z)=(-2k\ ,\ k\ ,\ k+2)\end{align*}}$
　　　これより、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}=(-2k-1\ ,\ k\ ,\ k+2)\end{align*}}$　････①
　　　一方、、ＢＣ⊥ＡＨなので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}\cdot \overrightarrow{\sf AH}=-2(-2k-1)+k+(k+2)=0\end{align*}}$
　　　となり、これを解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=-\frac{2}{3}\end{align*}}$
　　　よって、Ｈの座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ H\left(\frac{4}{3}\ ,\ -\frac{2}{3}\ ,\ \frac{4}{3}\right)\ \ }\end{align*}}$


　(３)
　　　Ｏを始点とするベクトルで考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\ \overrightarrow{\sf OA}\ |=1\ \ ,\ \ |\ \overrightarrow{\sf OH}\ |=\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2+\left( -\frac{2}{3}\right)^2+\left( \frac{4}{3}\right)^2}=2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot \overrightarrow{\sf OH}=-frac{4}{3}\end{align*}}$
　　　なので、△ＯＡＨの面積Ｓは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf OA}|^2|\overrightarrow{\sf OH}|^2-(\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OH})^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{1^2\cdot 2^2-\left(\frac{4}{3}\right)^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\sqrt5}{3}\ \ }\end{align*}}$
　　


　　計算さえ気をつければ問題ないでしょう。
　　(３)で用いた面積の公式は必須です！