2012九州大 理系数学３

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【解答】

　(１)
　　　ａ＝０のときは、明らかにｘ＝－１を解にもつのでＯＫ。
　　　以下は、ａ≠０の場合を考える。
　　　まず、与式を変形すると、　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2+|x+1|+n-1}{x+1}=\frac{\sqrt{n}}{a}\end{align*}}$　････(※)
　　　となり、左辺をｆ(ｘ)とおく。

　　　(ⅰ) ｘ＞－１のとき
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{x^2+(x+1)+n-1}{x+1}=\frac{x^2+x+n}{x+1}\end{align*}}$
　　　　　より、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+n)\cdot1}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x+1-n}{(x+1)^2}\end{align*}}$
　　　　　となり、ｆ’(ｘ)＝０となるのは、　
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-1+\sqrt n\ (>-1)\end{align*}}$
　　　　　のときである。

　　　(ⅱ) ｘ＜－１のとき
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{x^2-(x+1)+n-1}{x+1}=\frac{x^2-x+n-2}{x+1}\end{align*}}$
　　　　　より、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{(2x-1)(x+1)-(x^2-x+n-2)\cdot1}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x+1-n}{(x+1)^2}\end{align*}}$
　　　　　となり、ｆ’(ｘ)＝０となるのは、　
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-1-\sqrt n\ (<-1)\end{align*}}$
　　　　　のときである。
　　　これらより、ｆ(ｘ)の増減表およびｙ＝ｆ(ｘ)のグラフは、下図のようになる。

　　　　　

　　　よって、(※)が実数解をもつためには、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (0\lt )-1+2\sqrt n\leqq\frac{\sqrt n}{a}\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt a\leqq \frac{\sqrt n}{-1+2\sqrt n}\end{align*}}$
　　　　　　または　
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt n}{a}\leqq -3-2\sqrt n\ (<0)\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{\sqrt n}{3+2\sqrt n}\leqq a<0\end{align*}}$
　　　であればよい。ａ＝０のときも条件を満たすので、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -\frac{\sqrt n}{3+2\sqrt n}\ \leqq\ a\ \leqq\ \frac{\sqrt n}{-1+2\sqrt n}\ \ }\end{align*}}$

　(２)
　　　ｘ≧１の範囲で関数ｇ₁(ｘ)、ｇ₂(ｘ)を
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g_1(x)=-\frac{\sqrt x}{3+2\sqrt x}\ \ ,\ \ g_2(x)=\frac{\sqrt x}{-1+2\sqrt x}\end{align*}}$
　　　と定めると、それぞれの導関数は
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g_1'(x)=-\frac{\frac{1}{2\sqrt x}\left(3+2\sqrt x\right)-\sqrt{x}\cdot\frac{1}{\sqrt x}}{(3+2\sqrt x)^2}=-\frac{3}{2\sqrt x(3+2\sqrt x)^2}<0\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g_2'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt x}(-1+2\sqrt x)-\sqrt x\cdot\frac{1}{\sqrt x}}{(-1+2\sqrt x)^2}=-\frac{3}{2\sqrt x(-1+2\sqrt x)^2}<0\end{align*}}$
　　　となり、ともに単調減少関数である。
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g_1(1)=-\frac{1}{5}\ \ ,\ \ g_2(1)=1\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +\infty}\ g_1(x)=-\frac{1}{2}\ \ ,\ \ \lim_{x\rightarrow +\infty}\ g_2(x)=\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　なので、ｙ＝ｇ₁(ｘ)および、
　　　ｙ＝ｇ₂(ｘ)のグラフは右図のようになる。

　　　(２)で求めた条件は
　　　　　　　　　ｇ₁(ｎ)≦ａ≦ｇ₂(ｎ)
　　　と表せるので、すべての自然数ｎに対して、
　　　これを満たすようなａの値の範囲は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -\frac{1}{5}\ \leqq a\ \leqq \ \frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
　　　である。


　　これは難しいんじゃないですかねぇ。