2012九州大 理系数学４

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【解答】

　(１)
　　　解と係数の関係より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＋$\scriptsize\sf{\beta}$ ＝－ｐ 、　$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ ＝ｑ　････①　
　　　これを用いて、ａ₁、ａ₂、ａ₃を計算すると、
　　　　　　　ａ₁＝($\scriptsize\sf{\alpha}$ －１)($\scriptsize\sf{\beta}$ －１)
　　　　　　　　 ＝$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ －($\scriptsize\sf{\alpha}$ ＋$\scriptsize\sf{\beta}$ )＋１
　　　　　　　　 ＝－ｐ＋ｑ＋１　　←①より
　　　　　　　ａ₂＝($\scriptsize\sf{\alpha}$ ²－１)($\scriptsize\sf{\beta}$ ²－１)
　　　　　　　　 ＝$\scriptsize\sf{\alpha}$ ²$\scriptsize\sf{\beta}$ ²－($\scriptsize\sf{\alpha}$ ²＋$\scriptsize\sf{\beta}$ ²)＋１
　　　　　　　　 ＝($\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ )²－{($\scriptsize\sf{\alpha}$ ＋$\scriptsize\sf{\beta}$ )²－２$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ }＋１
　　　　　　　　 ＝－ｐ²＋ｑ²＋２ｑ＋１　　←①より
　　　　　　　ａ₃＝($\scriptsize\sf{\alpha}$ ³－１)($\scriptsize\sf{\beta}$ ³－１)
　　　　　　　　 ＝$\scriptsize\sf{\alpha}$ ²$\scriptsize\sf{\beta}$ ²－($\scriptsize\sf{\alpha}$ ³＋$\scriptsize\sf{\beta}$ ³)＋１
　　　　　　　　 ＝($\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ )³－{($\scriptsize\sf{\alpha}$ ＋$\scriptsize\sf{\beta}$ )³－３$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ ($\scriptsize\sf{\alpha}$ ＋$\scriptsize\sf{\beta}$ )}＋１
　　　　　　　　 ＝－ｐ³＋ｑ³＋３ｐｑ＋１　　←①より
　　　となる。
　　　ここで、ｐ、ｑは整数なので、ａ₁、ａ₂、ａ₃はすべて整数である。
　
　(２)
　　　条件式 (|$\scriptsize\sf{\alpha}$ |－１)(|$\scriptsize\sf{\beta}$ |－１)＞０ より
　　　　　　(ⅰ) |$\scriptsize\sf{\alpha}$ |＜１　かつ　|$\scriptsize\sf{\beta}$ |＜１　　
　　　　　　(ⅱ) |$\scriptsize\sf{\alpha}$ |＞１　かつ　|$\scriptsize\sf{\beta}$ |＞１　　
　　　の２つの場合が考えられる。

　　　求める極限をＬとおくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \left|\ \frac{a_{n+1}}{a_n}\ \right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \left|\ \frac{(\alpha^{n+1}-1)(\beta^{n+1}-1)}{(\alpha^{n}-1)(\beta^{n}-1)}\ \right|\end{align*}}$

　　　(ⅰ)のとき
　　　　　ｎ→∞のとき、$\scriptsize\sf{\alpha}$ ⁿ→０　かつ　$\scriptsize\sf{\beta}$ ⁿ→０　なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\left|\ \frac{(0-1)(0-1)}{(0-1)(0-1)}\ \right|=1\end{align*}}$

　　　(ⅱ)のとき
　　　　　極限Ｌは
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \left|\ \frac{\left(\alpha-\frac{1}{\alpha^n}\right)\left(\beta-\frac{1}{\beta^n}\right)}{\left(1-\frac{1}{\alpha^{n}}\right)\left(1-\frac{1}{\beta^{n}}\right)}\ \right|\end{align*}}$
　　　　　と変形でき、
　　　　　ｎ→∞のとき、$\scriptsize\sf{\alpha}$ ⁿ→∞　かつ　$\scriptsize\sf{\beta}$ ⁿ→∞　なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\left|\ \frac{(\alpha-0)(\beta-0)}{(1-0)(1-0)}\ \right|=|\alpha\beta|=|q|\end{align*}}$

　　　以上より、(ⅰ)、(ⅱ)いずれの場合も、極限Ｌは整数となる。

　(３)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1+\sqrt5}{2}\end{align*}}$　は整数ではないので、(２)の対偶を考えると、
　　　　　　　(|$\scriptsize\sf{\alpha}$ |－１)(|$\scriptsize\sf{\beta}$ |－１)＜０
　　　となる。
　　　ここで、|$\scriptsize\sf{\alpha}$ |＜|$\scriptsize\sf{\beta}$ |としても一般性を失わないので、
　　　　　　　|$\scriptsize\sf{\alpha}$ |＜１　かつ　|$\scriptsize\sf{\beta}$ |＞１
　　　となる。
　　　このとき、極限Ｌは
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \left|\ \frac{\left(\alpha^{n+1}-1\right)\left(\beta-\frac{1}{\beta^n}\right)}{\left(\alpha^{n}-1\right)\left(1-\frac{1}{\beta^{n}}\right)}\ \right|\end{align*}}$
　　　と変形でき、
　　　ｎ→∞のとき、$\scriptsize\sf{\alpha}$ ⁿ→０　かつ　$\scriptsize\sf{\beta}$ ⁿ→∞　なので、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\left|\ \frac{(0-1)(\beta-0)}{(0-1)(1-0)}\ \right|=|\beta|=\frac{1+\sqrt5}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \beta=\pm\frac{1+\sqrt5}{2}\end{align*}}$
　　　$\scriptsize\sf{\beta}$ は、方程式ｘ²＋ｐｘ＋ｑ＝０の解なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\pm\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^2\pm\frac{1+\sqrt5}{2}\cdot p+q=0\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (3\pm p+2q)+\sqrt5\ (1\pm p)=0\end{align*}}$　　（複号同順）

　　　ｐ、ｑは有理数、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$ は無理数なので、
　　　　　　　３＋ｐ＋２ｑ＝１＋ｐ＝０　または　３－ｐ＋２ｑ＝１－ｐ＝０
　　　これらを解くと、
　　　　　　　(ｐ，ｑ)＝(－１，－１)、(１，－１)　


　　(１)は、(２)以降とは全く無関係ですね・・・・