2012名古屋大 文系数学３

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【解答】

　(１)
　　　３回ともｊ以上 ｊ＋ｋ以下のカードを取り出せばよいので、
　　　その確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{(j+k)-j+1}{n}\right)^3=\underline{\ \left(\frac{k+1}{n}\right)^3 \ \ }\end{align*}}$

　(２)
　　　(ア)ｊのカードを２回、ｊ＋ｋのカードを１回取り出す場合
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{n}\right)^2\cdot\frac{1}{n}\cdot 3=\frac{3}{n^3}\end{align*}}$
　　　(イ)ｊのカードを１回、ｊ＋ｋのカードを２回取り出す場合
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2\cdot3=\frac{3}{n^3}\end{align*}}$
　　　(ウ)ｊのカードを１回、ｊ＋ｋのカードを１回、
　　　　　ｊ＋１以上ｊ＋ｋ－１以下のカードを１回取り出す場合
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}\cdot\frac{k-1}{n}\cdot3\ !=\frac{6(k-1)}{n^3}\end{align*}}$
　　　以上より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{n^3}+\frac{3}{n^3}+\frac{6(k-1)}{n^3}=\underline{\ \frac{6k}{n^3}\ \ }\end{align*}}$

　(３)
　　　最小値をＸ＝ｊとすると、Ｘ－Ｙ＝ｓ（＞０）より
　　　最大値はＹ＝ｊ＋ｓとなる。
　　　よって、
　　　　　　　　１≦ｊ＜ｊ＋ｓ≦ｎ　⇔　１≦ｊ≦ｎ－ｓ
　　　これと(２)より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\ (s)=\sum_{j=1}^{n-s}\ \frac{6s}{n^3}=\underline{\ \frac{6s(n-s)}{n^3}\ \ }\end{align*}}$

　(４)
　　　実数ｘについての関数Ｐ(ｘ)を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\ (x)=\frac{6x(n-x)}{n^3}\end{align*}}$
　　　と定義すると、右辺を平方完成することにより
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\ (x)=-\frac{6}{n^3}\left(x-\frac{n}{2}\right)^2+\frac{3}{2n}\end{align*}}$
　　　のように変形できる。
　　　ここで、ｎは偶数なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{2}\end{align*}}$ は整数である。
　　　よって、Ｐ(ｓ)は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ s=\frac{n}{2}\ \ }\end{align*}}$
　　　のときに最大となる。


　　これは理系と共通問題ですが、さほど難しくないですね。