2012名古屋大 文系数学１

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【解答】

　(１)
　　　ｈ＝０のとき、
　　　L：ｙ＝１となり、ＰとＱのｘ座標は等しく、
　　　　　　　　　　ｓ＝ａ．
　　　また、ＰＱの中点はL上にあるので、ｙ座標を
　　　考えると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b+t}{2}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ t=2-b\end{align*}}$

　　　ｈ≠０のとき、
　　　線分ＰＱは直線L：ｙ＝ｈｘ＋１と垂直なので、
　　　傾きの積は－１となり、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{t-b}{s-a}\cdot h=-1\end{align*}}$
　　　　　⇔　ｓ＋ｈｔ＝ａ＋ｂｈ　････①
　　　また、ＰＱの中点をＭとすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\ \left(\frac{a+s}{2}\ ,\ \frac{b+t}{2}\right)\end{align*}}$
　　　であり、これがL上にあるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b+t}{2}=\frac{a+s}{2}\cdot h+1\end{align*}}$
　　　　　⇔　ｈｓ－ｔ＝－ａｈ＋ｂ－２　････②
　　　①＋②×ｈを計算すると、
　　　　　　　(ｈ²＋１)ｓ＝(１－ｈ²)ａ＋２ｈｂ－２ｈ
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{(1-h^2)a+2hb-2h}{h^2+1}\end{align*}}$
　　　これを②に代入して整理すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{2ah+(h^2-1)b+2}{h^2+1}\end{align*}}$
　　　こららの式は、ｈ＝０のときも満たすので、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ (s\ ,\ t)=\left(\frac{(1-h^2)a+2hb-2h}{h^2+1}\ ,\ \frac{2ah+(h^2-1)b+2}{h^2+1}\right)\ \ }\end{align*}}$


　(２)
　　　点Ａの座標をＡ(Ｘ，Ｙ)とし、
　　　(１)で、ａ＝ｂ＝０の場合を考えると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (X\ ,\ Y)=\left(-\frac{2h}{h^2+1}\ ,\ \frac{2}{h^2+1}\right)\end{align*}}$　････③
　　　線分ＯＡの長さは、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OA^2=X^2+Y^2\end{align*}}$　　　
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(-\frac{2h}{h^2+1}\right)^2+\left( \frac{2}{h^2+1}\right)^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4h^2+4}{(h^2+1)^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4}{h^2+1}\end{align*}}$　････④
　　　ここで、
　　　　　－１≦ｈ≦１　⇔　０≦ｈ²≦１
　　　　　　　　　　　　⇔　１≦ｈ²＋１≦２
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\leqq \frac{1}{h^2+1}\leqq 1\end{align*}}$　････⑤
　　　よって、④、⑤より
　　　　　　　２≦ＯＡ²≦４
　　　となるので、
　　　　　　　ＯＡの最大値は２　（ｈ＝０のとき）
　　　　　　　　　　最小値は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$　（ｈ＝±１のとき）


　(３)
　　　③、④より
　　　　　　　　　Ｘ²＋Ｙ²＝２Ｙ
　　　　　　　⇔　Ｘ²＋(Ｙ－１)²＝１
　　　③、⑤より
　　　　　　　　　１≦Ｙ≦２
　　　これらより、点Ａ(Ｘ，Ｙ)の軌跡Ｃは、
　　　中心(０，１)、半径１の円の１≦ｙ≦２の部分で、
　　　右図のような半円の弧になる。
　　　これと直線ｙ＝１で囲まれる部分の面積は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pi\cdot1^2\cdot\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{\pi}{2}\ \ }\end{align*}}$



　　(３)はちょっと誤魔化していますが・・・・