(１)は問題ないでしょうが、(２)をうまく処理できたが勝負の分かれ目です。　


　　(１)
　　　　Ｄ(ｐ，ｑ，ｒ)とおくと、ＯＤ²＝ＡＤ²＝ＢＤ²＝ＣＤ²より、
　　　　ｐ²＋ｑ²＋ｒ²＝ｐ²＋(ｑ－２)²＋(ｒ－３)²＝(ｐ－１)²＋ｑ²＋(ｒ－３)²
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(ｐ－１)²＋(ｑ－２)²＋ｒ²
　　　　これを整理すると、
　　　　　　　４ｑ＋６ｒ－13＝２ｐ＋６ｒ－10＝２ｐ＋４ｑ－５＝０
　　　　連立させて解くと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ q=1\ \ ,\ \ r=-\frac{3}{2}\end{align*}}$
　　　　が得られる。よって、点Ｄの座標は
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D \left(\frac{1}{2}\ \ ,\ \ 1\ \ ,\ \ -\frac{3}{2} \right)\end{align*}}$


　　(２)
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB}=(1,-2,0)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AC}=(1,0,-3)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AD}=\left(\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}\right)\end{align*}}$
　　　　点Ｆは平面ＡＢＣ上にあるので、実数ｓ、ｔを用いて、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AF}=\sf s \overrightarrow{\sf AB}+\sf t \overrightarrow{\sf AC}=(\sf s+t,-2s,-3t)\end{align*}}$
　　　　と表せる。よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf DF}=\overrightarrow{\sf AF}-\overrightarrow{\sf AD}=\left(\sf s+t-\frac{1}{2},-2s+1,-3t+\frac{3}{2} \right)\end{align*}}$
　　　　ＤＦ⊥平面ＡＢＣなので、ＤＦ⊥ＡＢかつＤＦ⊥ＡＣ
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf DF}\ \cdot\ \overrightarrow{\sf AB}=\left(\sf s+t-\frac{1}{2}\right)-2\left(-2\sf s+1\right)=0\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf DF}\ \cdot\ \overrightarrow{\sf AC}=\left(\sf s+t-\frac{1}{2}\right)-3\left(-3\sf t+\frac{3}{2} \right)=0\end{align*}}$
　　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{20}{49}\ \ ,\ \ t=\frac{45}{98}\end{align*}}$
　　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf DF}=\frac{3}{49}(6,3,2)\end{align*}}$
　　　　なので、その大きさは
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left| \overrightarrow{\sf DF} \right|=\frac{3}{49}\sqrt{6^2+3^2+2^2}=\frac{3}{7}\end{align*}}$


　　(３)
　　　　ＤＦを高さと見なすと△ＡＢＣが底面になり、その面積は
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \bigtriangleup \sf ABC=\frac{1}{2} \sqrt{\left| \overrightarrow{\sf AB} \right|^2 \left| \overrightarrow{\sf AC} \right|^2\ -\ \left( \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC} \right)^2}\end{align*}}$　　
　　　　で求められる。
　　　　ここに、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sg f \left| \overrightarrow{\sf AB} \right|^2=5\ ,\ \left| \overrightarrow{\sf AC} \right|^2=10\ ,\ \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC} =1\end{align*}}$　　
　　　　を代入して計算すると、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \bigtriangleup \sf ABC=\frac{7}{2}\end{align*}}$　　
　　　　よって、四面体の体積は
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{7}{2}\times\frac{3}{7}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\end{align*}}$　　
　　　　


　　　(２)の途中で汚い数値が出てきて、ちょっとイヤな感じでしたが、
　　　最後にはキレイになって一安心。