2012名古屋大 理系数学１

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【解答】

　(１)
　　　導関数を求めると、
　　　　　　　　ｙ’＝３ｘ²－ａ²
　　　となるので、Ａにおける接線Lの方程式は、
　　　　　　　　L：ｙ－(ｔ³－ａ²ｔ)＝(３ｔ²－ａ²)(ｘ－ｔ)
　　　　　　⇔　ｙ＝(３ｔ²－ａ²)ｘ－２ｔ³
　
　　　ＣとLの交点を求めると、
　　　　　　　　ｘ³－ａ²ｘ＝(３ｔ²－ａ²)ｘ－２ｔ³
　　　　　　⇔　ｘ³－３ｔ²ｘ＋２ｔ³＝０
　　　　　　⇔　(ｘ－ｔ)²(ｘ＋２ｔ)＝０
　　　　　　⇔　ｘ＝ｔ，－２ｔ

　　　(ⅱ)ｔ＞０のとき
　　　　　－２ｔ＜ｔよりＣとLの位置関係は右図１のようになる。
　　　　　囲まれる部分の面積Ｓ(ｔ)は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (t)=\int_{-2t}^t\{x^3-a^2x-(3t^2-a^2)x+2t^3\}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-2t}^t\ (x^3-3t^2x+2t^3)\ dx\end{align*}}$　････(※)
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{4}x^4-\frac{3}{2}t^2x^2+2t^3x\right]_{-2t}^t\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{27}{4}t^4\end{align*}}$

　　　(ⅱ)ｔ＜０のとき
　　　　　ｔ＜－２ｔよりＣとLの位置関係は右図２のようになる。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (t)=\int_t^{-2t}\{(3t^2-a^2)x-2t^3-(x^3-a^2x)\}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_t^{-2t}\ (x-t)^2(x+2t)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-2t}^t\ (x-t)^2(x+2t)\ dx\end{align*}}$
　　　　　となるので(※)と一致する。

　　　以上より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (t)=\underline{\ \frac{27}{4}t^4\ \ }\end{align*}}$


　(２)
　　　接線L：ｙ＝(３ｔ²－ａ²)ｘ－２ｔ³ が点Ｂ(２ａ，ｂ)を通るので、
　　　　　　　　ｂ＝２ａ(３ｔ²－ａ²)－２ｔ³
　　　　　　⇔　ｂ＝－２ｔ³＋６ａｔ²－２ａ³　････①
　　　①の右辺をｆ(ｔ)とおくと、
　　　　　　　　ｆ’(ｔ)＝－６ｔ²＋12ａｔ
　　　　　　　　　　　　＝－６ｔ(ｔ－２ａ)
　　　となるので、ｆ(ｔ)の増減表およびグラフは下の通り。
　　　　　

　　　点Ｂを通る接線の本数は、①を満たすｔの値の個数に等しい。
　　　すなわち、
　　　ｙ＝ｆ(ｔ)のグラフと直線ｙ＝ｂとの交点の個数に等しいので、
　　　　　　　　－２ａ³＜ｂ＜６ａ³のとき３本
　　　　　　　　ｂ＝－２ａ³、ｂ＝６ａ³のとき２本
　　　　　　　　ｂ＜－２ａ³、６ａ³＜ｂのとき１本

　(３)
　　　(ア)ｂ＝－２ａ³のとき
　　　　　　　①　⇔　－２ａ³＝－２ｔ³＋６ａｔ²－２ａ³
　　　　　　　　　⇔　２ｔ³－６ａｔ²＝２ｔ²(ｔ－３ａ)＝０
　　　　　　　　　⇔　ｔ＝０，３ａ
　　　　　ｔ＝０に対する接線はｙ＝－ａ²ｘ
　　　　　であるが、これは原点を通るので不適

　　　(イ)ｂ＝６ａ³のとき
　　　　　　　①　⇔　６³＝－２ｔ³＋６ａｔ²－２ａ³
　　　　　　　　　⇔　ｔ³－３ａｔ²＋４ａ³＝(ｔ＋ａ)(ｔ－２ａ)²０
　　　　　　　　　⇔　ｔ＝－ａ，２ａ
　　　　　ｔ＝－ａに対応する接線はｙ＝２ａ²－２ａ³であり、
　　　　　これとＣによって囲まれる図形の面積は、(１)より
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (-a)=\frac{27}{4}a^4\end{align*}}$
　　　　　一方、ｔ＝２ａに対応する接線はｙ＝11ａ²－16ａ³であり、
　　　　　これとＣによって囲まれる図形の面積は、(１)より
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (2a)=\frac{27}{4}\cdot(2a)^4\end{align*}}$
　　　　　よって、Ｓ₁≧Ｓ₂より
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{27}{4}\cdot(2a)^4}{\frac{27}{4}a^4}=\underline{\ 16\ \ }\end{align*}}$



　　この問題は、とっつきやすいですね。