第５問
最初に1の目が上面にあるようにサイコロが置かれている。
その後、4つの側面から1つの面を無作為に選び、その面が
上面になるように置き直す操作をn回繰り返す。
なお、サイコロの向かい合う面の目の数の和は７である。
(１) 最後に1の目が上面にある確率を求めよ。
(２) 最後に上面にある目の数の期待値を求めよ。
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【解答】
(１)
k回（k=0，1，2，･･･，n）の操作の後、1の目が
上面にある確率をpk
側面にある確率をqk
下面にある確率をrk
とおくと、
pk+qk+rk=1 ････①
1の目が上面や下面にある状態で操作を行うと、必ず側面に移る。
また、1の目が側面にある状態で操作を行うと、
1/4の確率で上面、1/2の確率で側面、1/4の確率で下面に移る。
これらのことを式で表すと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{k+1}=r_{k+1}=\frac{1}{4}\ q_k\end{align*}}$ ････②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{k+1}=p_k+\frac{1}{2}\ q_k+r_k\end{align*}}$ ････③
また、最初1の目は上面にあるので、
p0=1、 q0=r0=0
であり、1回目の操作後に必ず側面に移るので、
q1-1、 p1=r1-0．
一方、①を③に代入して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{k+1}=-\frac{1}{2}\ q_k+1\end{align*}}$
となり、この式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{k+1}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}\left(\ q_k-\frac{2}{3}\right)\end{align*}}$
と変形できるので、
数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{q_k-\frac{2}{3}\right\}\end{align*}}$ }は、初項 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ 、公比$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\end{align*}}$ の等比数列である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_k-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1}\ \ \Leftrightarrow\ \ q_k=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1}+\frac{2}{3}\end{align*}}$ ．
これと②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_k=\frac{1}{4}\ q_{k-1}=\frac{1}{12}\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-2}+\frac{1}{6}\end{align*}}$
となり、k=nとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_n=\frac{1}{12}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-2}+\frac{1}{6}\ \ }\end{align*}}$
(２)
1の目が側面にあるとき、上面の目は2、3、4、5のいずれかである。
よってn回の操作の後、2～5の目が上面になる確率はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\ q_n\end{align*}}$ である。
また、1の目が下面にあるとき、上面の目は6なので、
n回の操作の後、6の目が上面になる確率はrn．
よって、求める期待値Ｅは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E=1\cdot p_n+(2+3+4+5)\cdot \frac{1}{4}\ q_n+6\cdot r_n \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =p_n+\frac{7}{2}\ q_n+6r_n\end{align*}}$
①より、qn=1-pn-rnなので、これを代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E=p_n+\frac{7}{2}\ (1-p_n-r_n)+6r_n \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{7}{2}+\frac{5}{2}\left(r_n- p_n\right)\end{align*}}$
さらに②より、pn=rnなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ E=\frac{7}{2}\ \ }\end{align*}}$
去年もこの「連立漸化式タイプの確率」が出てましたね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/13(火) 02:10:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .一橋大 2012
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