第４問
xuz空間内の平面z=2上に点Pがあり、平面z-1上に点Qがある。
直線PQとxy平面の交点をRとする。
(１) P(0，0，2)とする。点Qが平面z-1上で点(0，0，1)を中心とする
半径1の円周上を動くとき、点Rの軌跡を求めよ。
(２) 平面z=1上に4点A(1，1，1)、B(1，-1，1)、C(-1，-1，1)、
D(-1，1，1)をとる。点Pが平面z=2上で点(0，0，2)を中心とする
半径1の円周上を動き、点Qが正方形ABCDの周上を動くとき、点Rが
動きうる領域をxy平面上に図示し、その面積を求めよ。
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【解答】
(１)
Qは(0，0，1)を中心とする半径1の円周上を動くので、
その座標は$\scriptsize\sf{\theta}$ を変数として
$\scriptsize\sf{Q\cos\theta,\sin\theta,1)}$
と表すことができる。
RはPQを2：1に外分する点なので、その座標は、
$\scriptsize\sf{R(2\cos\theta,2\sin\theta,0)}$
となる。
これは、Rが原点中心、半径2の円周上を動くことを表すので、
Rの軌跡の方程式は、
x2+y2=4 、 z=0
(２)
Pは(0，0，2)を中心とする半径1の円周上を動くので、
その座標は$\scriptsize\sf{\theta}$ を変数として
$\scriptsize\sf{P(\cos\theta,\sin\theta,2)}$
と表せる。
Qが線分AB上を動くとき、その座標はｔを変数として、
Q(1，t，1) （-1≦t≦1）
と表すことができ、Rの座標を
R(X，Y，Z)
とおくと、
RはPQを2：1に外分する点なので、その座標は、
$\scriptsize\sf{\sf (X,Y,Z)=(2-\cos\theta,2t-\sin\theta,0)}$
となる。これより、
$\scriptsize\sf{\cos\theta=2-X, \\ \ \sin\theta=2t-Y}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\sf\cos^2\theta+\sin^2\theta=(X-2)^2+(Y-2t)^2=1}$．
Rは点(2，2t，0)を中心とする半径1の円周上を動き、
-1≦t≦1より中心は点(2，-2，0)と(2，2，2)を
結ぶ線分上を動く。
このとき、この円が通過する領域は右図１のようになる。
図の対称性より、点Qが正方形の他の辺上を動くときも
同様に考えることができるので、Rが動きうる領域は
右図2のようになる。
この領域の面積は、
のようにして求めることができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 6^2-2^2-4\left(1-\frac{\pi}{4}\right)=\underline{28-\pi}\end{align*}}$
(２)はちょっとしんどいでしょうね＾＾；；
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/13(火) 02:09:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .一橋大 2012
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