2012一橋大 数学３

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【解答】

　(１)
　　　点(p，q)がC上にあるとき、点(ap+bq，cp+dq)もC上にあるので、
　　　　　　　　q=p²-p+k　････①
　　　　　　　　cp+dq=(ap+bq)²-(ap+bq)+k　････②
　　　まず、②を整理すると、
　　　　　　　　b²q²+2abpq+a²p²-(a+c)p-(b+d)q+k=0
　　　これに①を代入すると、
　　　　　　b²(p²-p+k)²+2abp(p²-p+k)+a²p²
　　　　　　　　　　　　　　　　-(a+c)p-(b+d)(p²-p+k)+k=0　･･･③
　　　この式は任意のpについて成立するので、展開式におけるp⁴の係数を
　　　比較すると、
　　　　　　　　b²=0　⇔　b=0．
　　　よって、③は
　　　　　　　a²ｐ²-(a+c)p-d(p²-p+k)+k=0
　　　　　⇔　(a²-d)p²-(a+c-d)p+(a-d)k=0
　　　と変形できるので、両辺の係数を比較すると、
　　　　　　　　a²-d=0　かつ　a+c-d=0　かつ　1-d=0．
　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　(a，c，d)＝(1，0，1)、(-1，2，1)．
　　　題意より(a，b，c，d)≠(1，0，0，1)なので、
　　　　　　　(a，b，c，d)＝(-1，0，2，1)


　(２)
　　　点Aのx座標をpとすると、(１)より
　　　　　　　A(p，p²-p+k)、　A’(-p，p²+p+k)．
　　　曲線Cの導関数は
　　　　　　　y’=2x-1
　　　なので、点A、A’における接線はそれぞれ、
　　　　　　　y-(p²-p+k)=(2p-1)(x-p)　
　　　　　⇔　y=(2p-1)x-p²+k

　　　　　　　y-(p²+p+k)=(-2p-1)(x+p)　
　　　　　⇔　y=(-2p-1)x-p²+k
　　　これらが原点において直交するので、
　　　　　　　-p²+k=0　かつ　(2p-1)(-2p-1)=-1
　　　連立させて解くと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\pm\frac{1}{\sqrt2}\ \ ,\ \ k=p^2=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ k=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ A\ \left(\pm\frac{1}{\sqrt2}\ ,\ 1\mp\frac{1}{\sqrt2}\right)\ \ }\end{align*}}$ （複号同順）



　　条件のまま計算するだけですが、(１)では先にb=0を出しておかないと
　　式が長くなって煩雑です。