2012東京工業大 数学１

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【解答】

　(１)
　　　正四面体OABCの一辺は1なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|=|\overrightarrow{\sf OB}|=|\overrightarrow{\sf OC}|=1\end{align*}}$　････①
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=1\cdot1\cdot\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\end{align*}}$　････②
　　　D、Eはそれぞれ辺AB、OCの中点なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=\frac{\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}}{2}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OE}=\frac{\overrightarrow{\sf OC}}{2}\end{align*}}$　．
　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf DE}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=\left(\overrightarrow{\sf OE}-\overrightarrow{\sf OD}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OA}-\overrightarrow{\sf OB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(|\overrightarrow{\sf OC}|^2-\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}+|\overrightarrow{\sf OA}|^2-\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\right)\end{align*}}$
　　　これに①、②を代入して計算すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf DE}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=\frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$


　(２)
　　　目の積が10の倍数になるためには、
　　　5の目が少なくとも1回出て、偶数の目が少なくとも1回出ればよい。

　　　(ⅰ)5の目が2回、偶数の目が1回出る場合
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\frac{3}{6}\cdot_3C_2=\frac{9}{216}\end{align*}}$
　　　(ⅱ)5の目が1回、偶数の目が1回、５以外の奇数が1回出る場合
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{6}\cdot3!=\frac{36}{216}\end{align*}}$
　　　(ⅲ)５の目が1回、偶数の目が2回出る場合
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\cdot\left(\frac{3}{6}\right)^2\cdot_3C_1=\frac{27}{216}\end{align*}}$
　　　以上より、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9}{216}+\frac{36}{216}+\frac{27}{216}=\underline{\ \frac{1}{3}\ \ }\end{align*}}$



　　今年度から登場した小問集合。
　　といってもこれは簡単ですよね。