2012東京大 文系数学４

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【解答】

　(1)
　　　C：y=x²+1の導関数は
　　　　　　　y’=2x
　　　なので、C上の点P(p，p²+1)における接線の方程式は、
　　　　　　　y－(p²+1)=2p(x－p)　
　　　　　⇔　y=2px－p²+1．　････①
　　　これが点(s，ｔ)を通るので、
　　　　　　　ｔ=2ps－p²+1　⇔　p²－2sp+ｔ－1=0
　　　Pについて解くと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=s\pm\sqrt{s^2-t+1}\end{align*}}$ ････②
　　　となり、これを①に代入すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=2\left(s\pm\sqrt{s^2-t+1}\right)x-\left(s\pm\sqrt{s^2-t+1}\right)^2+1\ \ }\end{align*}}$　　（複号同順）
　　　これらが、求める2接線L₁、L₂の方程式である。







　(2)
　　　②の値をp₁、p₂ （p₁＜p₂）とすると、
　　　L₁、L₂の方程式はそれぞれ、
　　　　　L₁： y=2p₁x－p₁²+1
　　　　　L₂： y=2p₂x－p₂²+1

　　　C、L₁、L₂で囲まれる領域の面積Sは、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{p_1}^{s}\{(x^2+1)-(2p_1x-p_1^{\ 2}+1)\} dx+\int_{s}^{p_2}\{(x^2+1)-(2p_2x-p_2^{\ 2}+1)\} dx\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{p_1}^{s}(x-p_1)^2\ dx+\int_{s}^{p_2}(x-p_2)^2\ dx\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{3}(x-p_1)^3\right]_{p_1}^{s}+\left[\frac{1}{3}(x-p_2)^3\right]_{s}^{p_2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}(s-p_1)^3-\frac{1}{3}(s-p_2)^3\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(\sqrt{s^2-t+1}\right)^3-\frac{1}{3}\left(-\sqrt{s^2-t+1}\right)^3\end{align*}}$　　←②より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\left(\sqrt{s^2-t+1}\right)^3\end{align*}}$　　

　　　ここで、S=aなので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{2}{3}\left(\sqrt{s^2-t+1}\right)^3\ \ \Leftrightarrow\ \ s^2-t+1=\left(\frac{3}{2}\ a\right)^{\frac{2}{3}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=s^2+1-\left(\frac{3}{2}\ a\right)^{\frac{2}{3}}\end{align*}}$
　　　よって、S=aとなる点(s，ｔ)は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=s^2+1-\left(\frac{3}{2}\ a\right)^{\frac{2}{3}}\ \ (t<0)\ \ }\end{align*}}$
　　　を満たす点である。


　　これも東大にしちゃあ簡単だと思いますよ。