2012東京大 文系数学２

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【解答】

　　　ACの方程式は、
　　　　　　AC：y=－$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{t}\end{align*}}$ x+1
　　　DCは直線x=ｔに関してACと対称なので、
　　　傾きは $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{t}\end{align*}}$ であり、点C(ｔ，0)を通るので、
　　　　　　DC：y=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{t}\end{align*}}$ (x－ｔ) ．
　　　これとAB：y=－x+1を連立させて解くと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{2t}{t+1}\ \ ,\ \ y=\frac{-t+1}{t+1}\end{align*}}$
　　　となり、点Dの座標は
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D\left(\frac{2t}{t+1}\ ,\ \frac{-t+1}{t+1}\right)\end{align*}}$ ．
　　　
　　　点Cを通りy軸に平行な直線とABとの交点をEとすると、
　　　　　　E(ｔ，－ｔ+1)

　　　よって、△ACDの面積をSとすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\triangle ACE+\triangle DCE\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\cdot(-t+1)\cdot\frac{2t}{t+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{-t^2+t}{t+1}\end{align*}}$
　　　ここで、－ｔ²+ｔをｔ+1で割ったときの商は－ｔ+2、余りは－2なので、
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=-t+2-\frac{2}{t+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left((t+1)+\frac{2}{t+1}\right)+3\end{align*}}$
　　　と変形できる。

　　　一方、ｔ+1＞0なので相加･相乗平均の関係より、
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (t+1)+\frac{2}{t+1}\geqq 2\sqrt{(t+1)\cdot\frac{2}{t+1}}=2\sqrt2\end{align*}}$
　　　等号成立は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t+1=\frac{2}{t+1}\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\sqrt2-1\ \ (\because 0\lt t<1)\end{align*}}$

　　　よって、
　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\leqq 3-2\sqrt2\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　ｔ=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$－1のとき、Sは最大値 3－2$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ をとる。



　　東大にしては簡単な方じゃないでしょうか。