2012東京大 理系数学６

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(1)
　　　cos(－ｔ)=cosｔ、 sin(－ｔ)=－sinｔより、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf U(t)\ A\ U(-t)-B=\begin{pmatrix}\sf \cos t &\sf -\sin t\\ \sf \sin t &\cos t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf a&\sf 0\\ \sf 0 &\sf b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf \cos t &\sf \sin t\\ \sf -\sin t &\sf \cos t\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\sf \sf b &\sf 0\\ \sf 0 &\sf a\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 　=\begin{pmatrix}\sf a\cos t &\sf -b\sin t\\ \sf a\sin t &\sf b\cos t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf \cos t &\sf \sin t\\ \sf -\sin t&\sf \cos t\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\sf b &\sf 0\\ \sf 0&\sf a\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 　=\begin{pmatrix}\sf a\cos^2 t+b\sin^2t-b &\sf (a-b)\sin t\cos t\\ \sf (a-b)\sin t\cos t &\sf b\cos^2 t+a\sin^2 t-a\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 　=\begin{pmatrix}\sf (a-b)\cos^2 t&\sf(a-b)\sin t\cos t\\ \sf (a-b)\sin t\cos t &\sf -(a-b)\cos^2 t\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 　=(a-b)\ \cos t\begin{pmatrix}\sf \cos t&\sf \sin t\\ \sf \sin t&\sf -\cos t\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf U(x)\ \begin{pmatrix}\sf 1&\sf 0\\ \sf 0 \sf &-1\end{pmatrix}\ U(-x)=\begin{pmatrix}\sf \cos x&\sf -\sin x\\ \sf \sin x&\sf \cos x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 1&\sf 0\\ \sf 0&\sf -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf \cos x&\sf\sin x\\ \sf -\sin x &\sf\cos x\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix}\sf \cos x&\sf\sin x\\ \sf \sin x&\sf -\cos x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf \cos x&\sf\sin x\\ \sf -\sin x&\sf \cos x\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix}\sf \cos 2x-\sin^2 x&\sf 2\sin x\cos x\\ \sf 2\sin x\cos x&\sf -\cos^2 x+\sin^2x\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 　=\begin{pmatrix}\sf \cos 2x&\sf \sin 2x\\ \sf \sin 2x&\sf -\cos 2x\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(U(t)\ A\ U(-t)-B\right)\ U(x)\ \begin{pmatrix}\sf 1&\sf0\\ \sf 0 &\sf -1\end{pmatrix}\ U(-x)\end{align*}}$
　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 　=(a-b)\ \cos t\ \begin{pmatrix}\sf \cos t&\sf\sin t\\ \sf \sin t&\sf -\cos t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf \cos 2x&\sf \sin 2x\\ \sf \sin 2x&\sf -\cos 2x\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 　=(a-b)\ \cos t\ \begin{pmatrix}\sf \cos 2x\cos t+\sin 2x\sin t&\sf \sin 2x\cos t-\cos 2x\sin t\\ \sf \sin 2x\cos t-\cos 2x\sin t&\sf\cos 2x\cos t+\sin 2x\sin t\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 　=(a-b)\ \cos t\ \begin{pmatrix}\sf \cos(2x-t)&\sf\sin (2x-t)\\ \sf -\sin(2x-t)& \sf \cos (2x-t)\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　　ｆ(x)=2(a－b)cosｔcos(2x－ｔ)．

　　　－1≦cos(2x－ｔ)≦1なので、ｆ(x)の最大値ｍ(ｔ)は、
　　　　　　　　　ｍ(ｔ)=2(a－b)|cosｔ|


　(2)
　　　左辺について、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf U(t)\ C\ U(-t)\ D=\begin{pmatrix}\sf \cos t&\sf -\sin t\\ \sf \sin t &\sf \cos t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf a^c&\sf 0\\ \sf 0 &\sf b^c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf \cos t &\sf\sin t\\ \sf -\sin t &\sf\cos t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf b^{1-c}&\sf 0\\ \sf 0&\sf a^{1-c}\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 　=\begin{pmatrix}\sf a^c\cos t&\sf -b^c\sin t\\ \sf a^c\sin t&\sf b^c\cos t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf b^{1-c}\cos t&\sf a^{1-c}\sin t\\ \sf -b^{1-c}\sin t&\sf a^{1-c}\cos t\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 　=\begin{pmatrix}\sf a^cb^{1-c}\cos^2 t+b\sin^2 t&\sf a\sin t\cos t-a^{1-c}b^c\sin t\cos t\\ \sf a^cb^{1-c}\sin t\cos t-b\sin t\cos t&\sf a\sin^2 t+a^{1-c}b^c\cos ^2 t\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　2Tr(Ｕ(ｔ)CＵ(－ｔ)D)=2{(a^cb^1-c+a^1-cb^c)cos²ｔ+(a+b)sin²ｔ}

　　　一方、右辺について、　　　
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf U(t)\ A\ U(-t)+B=\begin{pmatrix}\sf a\cos^2 t+b\sin^2t+b&(a-b)\sin t\cos t\\ \sf (a-b)\sin t\cos t&\sf b\cos^2 t+a\sin^2 t+a\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　Tr(Ｕ(ｔ)AＵ(－ｔ)+B)－ｍ(ｔ)
　　　　　=a(sin²ｔ+cos²ｔ+1)+b(sin²ｔ+cos²ｔ+1)－ｍ(ｔ)
　　　　　=2(a+b)－2(a－b)|cosｔ|

　　　よって、　
　　　　　　左辺－右辺
　　　　　=2{(a^cb^1-c+a^1-cb^c)cos²ｔ+(a+b)sin²ｔ}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－2(a+b)+2(a－b)|cosｔ|
　　　　　=2(a^cb^1-c+a^1-cb^c)cos²ｔ－2(a+b)cos²ｔ+2(a－b)|cosｔ|
　　　　　=2|cosｔ|{(a^cb^1-c+a^1-cb^c－a－b)|cosｔ|+(a－b)}　････(*)
　　　ここで、a≧b＞0より、相加・相乗平均の関係を用いると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^cb^{1-c}+a^{1-c}b^c\geqq \ 2\sqrt{a^cb^{1-c}\cdot a^{1-c}b^c}=2\sqrt{ab}\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (*)\geqq 2|\cos t|\bigg(\left(2\sqrt{ab}-a-b\right)|\cos t|+(a-b)\bigg)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2|\cos t|\bigg(-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2|\cos t|+(a-b)\bigg)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2|\cos t|\left(\sqrt a-\sqrt b\right)\bigg(\left(\sqrt a+\sqrt b\right)-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)|\cos t|\bigg)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2|\cos t|\left(\sqrt a-\sqrt b\right)\bigg(\sqrt a\ (1-|\cos t|)+\sqrt b\ (1+|\cos t|)\bigg)\geqq 0\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（∵　a≧b＞0かつ0≦|cosｔ|≦1）

　　　以上より、すべての実数ｔに対し
　　　　　　2Tr(Ｕ(ｔ)CＵ(－ｔ)D)≧Tr(Ｕ(ｔ)AＵ(－ｔ)+B)－ｍ(ｔ)
　　　 が成り立つ。


　　計算するだけなんですが、面倒ですね。
　　(2)で相加・相乗平均に気づくかが勝負の分かれ目ですね。