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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012東京大 理系数学5



第5問

  行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a&\sf b\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$ が次の条件(D)を満たすとする。

  (D) Aの成分a、b、c、dは整数である。また、平面上の4点
     (0,0)、(a,b)、(a+c,b+d)、(c,d)は、面積1の
     平行四辺形の4つの頂点をなす。

  $\small\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 1\\ \sf 0&\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$ とおく。次の問いに答えよ。

 (1) 行列BAとB-1Aも条件(D)を満たすことを示せ。

 (2) c=0ならば、AにB、B-1のどちらを左から次々にかけること
    により、4個の行列
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 &\sf 1 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix}\sf -1&\sf 0 \\ \sf &\sf 1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0 \\ \sf 0&\sf -1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix}\sf -1&\sf 0\\ \sf 0&\sf -1\end{pmatrix}\end{align*}}$
    のどれかにできることを示せ。

 (3) |a|≧|c|>0とする。BA、B-1Aの少なくともどちらか一方は、
    それを $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf x&\sf y\\ \sf z &\sf w\end{pmatrix}\end{align*}}$ とすると
        |x|+|z|<|a|+|c|
    を満たすことを示せ。


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/20(火) 01:05:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 理系 2012
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