2012東京大 理系数学４

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(1)
　　　連続する2つの自然数をＮ、Ｎ+1とする。
　　　Ｎ=1のときは、
　　　　　　　1･2=2
　　　となり、これは明らかにｎ乗数ではないので、
　　　以下は、Ｎ≧2の範囲で考える。

　　　Ｎが素因数p（p≧2）をもつとすると、
　　　　　　　Ｎ=pＮ’　（Ｎ’は自然数）
　　　と表すことができる。
　　　p≧2より、
　　　　　　　pＮ’＜pＮ’+1＜p(Ｎ’+1)
　　　　　⇔　pＮ’＜Ｎ+1＜P(Ｎ’+1)
　　　よって、Ｎ+1はpを素因数として持ち得ないので、
　　　ＮとＮ+1は互いに素である。

　　　よって、Ｎ(Ｎ+1)がｎ乗数になるためには、
　　　　　　　Ｎ=aⁿ、 Ｎ+1=bⁿ
　　　の形であればよい（a、bは互いに素な自然数）。
　　　このとき、
　　　　　　　(Ｎ+1)－Ｎ=aⁿ－bⁿ≧2ⁿ－1ⁿ
　　　　　⇔　　1≧2ⁿ－1ⁿ
　　　となるが、ｎ≧2なので、これを満たす自然数a、bは存在しない。
　　　
　　　以上より、連続する2つの自然数の積がｎ乗数になることはない。


　　ＮとＮ+1が互いに素であることは、証明抜きに使ってもよさそうですが････　　


　(2)
　　　連続するｎ個の自然数をＮ、Ｎ+1、Ｎ+2、･･････、Ｎ+ｎ－1とする。
　　　その積がｎ乗数であるとすると、
　　　　　　　Ｎ(Ｎ+1)(Ｎ+2)････(Ｎ+ｎ－1)=Ｍⁿ　････①
　　　となる自然数Ｍ、ｎ（≧2）が存在する。
　　　一方、不等式
　　　　　Ｎⁿ＜Ｎ(Ｎ+1)(Ｎ+2)････(Ｎ+ｎ－1)＜(Ｎ+ｎ－1)ⁿ　　････②
　　　が成り立つので、①、②より
　　　　　　Ｎⁿ＜Ｍⁿ＜(Ｎ+ｎ－1)ⁿ　⇔　Ｎ＜Ｍ＜Ｎ+ｎ－1．

　　　よって①は、
　　　　　　　Ｎ(Ｎ+1)･･･(Ｍ－1)Ｍ(Ｍ+1)･･･(Ｎ+ｎ－1)=Ｍⁿ
　　　と表すことができ、両辺をＭで割ると、
　　　　　⇔　Ｎ(Ｎ+1)･･･(Ｍ－1)(Ｍ+1)･･･(Ｎ+ｎ－1)=Ｍ^n-1．

　　　ここで(1)と同様、連続する2整数ＭとＭ+1は互いに素なので、
　　　左辺はＭ+1の倍数であるが、右辺はＭ+1の倍数とはなり得ず
　　　この式は矛盾する。

　　　よって、連続するｎ個の自然数の積はｎ乗数とならない。



　　ことしの東大の問題では、これが一番難しいでしょうね。